「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分

集合 <math>G</math> の元 <math>a,b</math> の各対に対して G の第三の元（これを <math>ab</math> で表す)を対応させる演算が定義され, それが

 

;'''結合律'''

:すべての元 <math>a,b,c</math> に対して <math>(ab)c=a(bc)</math>

 

をみたすとき, この演算は'''結合的'''であるといい, また <math>G</math> は（この演算について）'''半群''' であるという.

演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#結合的|結合的]]のときは上記の式の両辺は括弧を省略して単に <math>abc</math>　と表してもよい. さらにこの演算が

 

;'''可換律'''

:すべての元 <math>a, b</math> に対して <math>ab=ba</math>

 

をみたすとき, この演算, または[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> は'''可換'''であるという.

 

 

<div id="1.2">

<strong>1.2</strong>

[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> の元 <math>e</math> で <math>G</math> のすべての元 <math>a</math> に対して

以上2式より <math>e' = e'e = ee' = e</math> すなわち <math>e=e'</math> </small></ref>

 

[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> を持つ[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> において, <math>G</math> の元 <math>a</math> に対して <math>ab=ba=e</math>

となるような元 <math>b</math> が存在すればこれを <math>a</math> の'''逆元'''という.

であるから <math>a</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は存在すればただ一つである.

 

[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を持ち, また <math>G</math> のすべての元が[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]を持つとき <math>G</math> は'''群'''であるという.<ref><small>

 

</small></ref>

 

[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]であるとき <math>G</math> は'''可換群''', または'''アーベル群'''という.

 

 

<div id="1.3">

<strong>1.3</strong>

一般に <math>G</math> が演算を持つ集合で <math>X</math> がその部分集合のとき,

例えば二元 <math>a, b</math> から演算 <math>\bot</math> で定まる元は <math>a \bot b</math> というように表すことにする．

 

<div id="左分配律">

<div id="左から分配的">