「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分

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集合 <math>G</math> の元 <math>a,b</math> の各対に対して G の第三の元(これを <math>ab</math> で表す)を対応させる演算が定義され, それが
 
<div id="結合律"> <!-- -->
;'''結合律'''
:すべての元 <math>a,b,c</math> に対して <math>(ab)c=a(bc)</math>
 
<div id="結合的"><!-- -->
<div id="半群"><!-- -->
をみたすとき, この演算は'''結合的'''であるといい, また <math>G</math> は(この演算について)'''半群''' であるという.
演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#結合的|結合的]]のときは上記の式の両辺は括弧を省略して単に <math>abc</math> と表してもよい. さらにこの演算が
 
<div id="可換律"><!-- -->
;'''可換律'''
:すべての元 <math>a, b</math> に対して <math>ab=ba</math>
 
<div id="可換"><!-- -->
をみたすとき, この演算, または[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> は'''可換'''であるという.
 
 
<div id="1.2">
<div id="単位元"><!-- -->
<strong>1.2</strong>
[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> の元 <math>e</math> で <math>G</math> のすべての元 <math>a</math> に対して
以上2式より <math>e' = e'e = ee' = e</math> すなわち <math>e=e'</math> </small></ref>
 
<div id="逆元"><!-- -->
[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]] <math>e</math> を持つ[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> において, <math>G</math> の元 <math>a</math> に対して <math>ab=ba=e</math>
となるような元 <math>b</math> が存在すればこれを <math>a</math> の'''逆元'''という.
であるから <math>a</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]は存在すればただ一つである.
 
<div id="群"><!-- -->
[[圏論/代数系/古典的代数系#半群|半群]] <math>G</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を持ち, また <math>G</math> のすべての元が[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]を持つとき <math>G</math> は'''群'''であるという.<ref><small>
 
</small></ref>
 
<div id="可換群"><!-- -->
<div id="アーベル群"><!-- -->
[[圏論/代数系/古典的代数系#群|群]]の演算が[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]であるとき <math>G</math> は'''可換群''', または'''アーベル群'''という.
 
 
<div id="1.3">
<div id="閉じている"><!-- -->
<div id="部分半群"><!-- -->
<div id="部分群"><!-- -->
<strong>1.3</strong>
一般に <math>G</math> が演算を持つ集合で <math>X</math> がその部分集合のとき,
例えば二元 <math>a, b</math> から演算 <math>\bot</math> で定まる元は <math>a \bot b</math> というように表すことにする.
 
次に一つの集合 <math>K</math> の上に二つの演算 <math>+</math> と <math>\centerdotcdot</math> とが与えられている場合を考える.もし
<!-- *** -->
 
<div id="左分配律">
<div id="左から分配的">
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