「圏論/代数系/古典的代数系」の版間の差分

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次に一つの集合 <math>K</math> の上に二つの演算 <math>+</math> と <math>\cdot</math> とが与えられている場合を考える.もし
 
<!-- *** -->
<div id="左分配律"><!-- -->
<div id="左から分配的"><!-- -->
<div id="分配律">
;<strong>左分配律</strong><!-- -->
:すべての元 <math>a, b, c</math> に対して <math>a\cdot(b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)</math>
 
 
<div id="環"><!-- -->
<div id="可換環"><!-- -->
<div id="1.6">
<strong>1.6</strong>
 
が満たされているとき <math>K</math> は'''環'''であるといい,さらに演算 <math>\cdot</math> が[[圏論/代数系/古典的代数系#可換|可換]]のときには <math>K</math> は'''可換環'''であるという.
<!-- ここまで -->
 
 
<div id="体">
<div id="1.7">
<strong>1.7</strong>
二つ以上の元を持つ[[圏論/代数系/古典的代数系#環|]] <math>K</math> が <math>\centerdotcdot</math> についても[[圏論/代数系/古典的代数系#群|]]となることはできない.
それは <math>+</math> についての[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]を <math>0\ </math> ,<math>\centerdotcdot</math> についての[[圏論/代数系/古典的代数系#単位元|単位元]]
<math>1</math> で表せば,[[圏論/代数系/古典的代数系#分配律|分配律]]から <math>a=a\centerdotdot(0+1)=a\centerdotcdot 0+a</math> で,
すべての <math>a\in K</math> について <math>a\centerdotcdot 0=0</math> となり,<math>0</math> の[[圏論/代数系/古典的代数系#逆元|逆元]]が存在できないからである.
しかしこの <math>0</math> を除けば残りの集合が <math>\centerdotcdot</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#群|]]となることは可能で,
もし[[圏論/代数系/古典的代数系#|環]] <math>K</math> がさらに<br />
 
<math>4^\circ\quad\ </math> <math>K-\left\{0\right\}</math> は <math>\centerdotcdot</math> について[[圏論/代数系/古典的代数系#群|]]となる.<br />
1.7
二つ以上の元を持つ環 <math>K</math> が <math>\centerdot</math> についても群となることはできない.
それは <math>+</math> についての単位元を <math>0\ </math> ,<math>\centerdot</math> についての単位元を
<math>1</math> で表せば,分配律から <math>a=a\centerdot(0+1)=a\centerdot 0+a</math> で,
すべての <math>a\in K</math> について <math>a\centerdot 0=0</math> となり,<math>0</math> の逆元が存在できないからである.
しかしこの <math>0</math> を除けば残りの集合が <math>\centerdot</math> について群となることは可能で,
もし環 <math>K</math> がさらに<br />
 
<math>4^\circ\quad\ </math> <math>K-\left\{0\right\}</math> は <math>\centerdot</math> について群となる.<br />
 
をみたすとき,<math>K</math> は'''体'''であるという.
 
整数の集合 <math>Z</math>,有理数の集合 <math>Q</math>,実数の集合 <math>R</math> は通常の加法 <math>+</math> と乗法 <math>\centerdotcdot</math>
について[[圏論/代数系/古典的代数系#環|]]であり,特に <math>Q</math> と <math>R</math> は[[圏論/代数系/古典的代数系#体|]]でもある.
 
<!-- ***ここまで -->
 
<div id="1.8">
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