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「圏論/代数系/関係, 同値関係」の版間の差分

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58 行
 
 
<div id="2.3">
<strong>2.3</strong>
<math>\rho</math> が <math>A</math> の上の[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値関係|同値関係]]のとき，各 <math>a\in A</math> に対して
76 ⟶ 77行目:
よって <math>x\in U_{\rho}(a)</math> なら推移律から <math>x\in U_{\rho}(c)</math> で，さらに <math>x\in U_{\rho}(b)</math>
<ref>
<math>\forall x \in A</math>について<math>x \in U_{\rho}(a)</math> のとき
<math>
<math>\forall x (\in A) x \rho a</math> のとき，…① <mathbr />
<math>c \in U_{\rho}(a)</math> より <math>a \rho c</math>，…②<br />
\forall x (\in A) x \rho a, a \rho c \therefore \forall x(\in A) x \rho c \therefore \forall x(\in A) \in U_{\rho}(c);
c \in U_{\rho}(b) </math> ①②より[[関係, 同値関係#推移律|推移律]]から <math> c \rho b; \forall x (\in A) x \rho c, c\rho</math>．…③<br b/>
<math>c \in U_{\rho}(a) \cap U_{\rho}(b)</math> より <math>c \in U_{\rho}(b)</math>．<math>\therefore c \rho b</math>．…④<br />
\therefore \forall x (\in A) x \rho b
③④より[[関係, 同値関係#推移律|推移律]]から <math>\forall x(\in A) x \rho b</math>．<math>\therefore x \in A</math> について <math>x \in U_{\rho}(b)</math>
\therefore \forall x (\in A) \in U_{\rho}(b)
</ref>
\therefore U_{\rho}(a) \subset U_{\rho}(b).</math></ref>
 
すなわち <math>U_{\rho}(a)\subset U{\rho}(b)</math>．
同様にして <math>U_{\rho}(b)\subset U{\rho}(a)</math>
<ref>
<math>c\in U_{\rho}(a)\cap U_{\rho}(b)</math> より
<math>bc\in U_{\rho}(cb)</math>．これと[[圏論/代数系/関係, 同値関係#対称律|対称律]]より <math>\therefore b\rho c, c\rho b;c</math>…①，<br />
<math>xc\in U_{\rho}(ba)</math> なら ．<math>x\intherefore c U_{\rho}(c) a</math>…②，<br />
(\because今 <math>\forall x( \in B)\rhoA</math> b,で b\rho<math>x c \therefore \forall x(\in B)U_{\rho c}(b)\</math> のとき…③、<br </math>；
さらに③より <math>x\in U_{\rho}(a)\ (\because \forall x(\in BA)\rho c,x c\rho a(\because c \in U_{\rho}(a))b</math>…④<br />
\therefore④①より[[関係, 同値関係#推移律|推移律]]から <math>\forall x (\in BA) x \rho ac</math>．<br すなわち <math/> x\in U_{\rho}(a);)
\forall x(\in B) \in U_{\rho}(b)</math>これと②より[[関係, な同値関係#推移律|推移律]]からば <math>\forall x (\in BA)\in U_{x \rho}( a) </math>．<br より/>
すなわち <math>U_{\rho}forall x (b\in A) \subsetin U_{\rho}(a)</math>．…⑤ <br />
③⑤はすなわち <math>\forall x (\in A) \in U_{\rho}(b)</math> ならば <math> \forall x (\in A) \in U_{\rho}(a)</math>．<math>\therefore U_{\rho}(b) \subset U_{\rho}(a)</math>．
</ref>
で，従って <math>U_{\rho}(a)=U{\rho}(b)</math> となる．よって
<div id="類別">
 
<div id="同値類">
<div id="関係\rhoから導かれた類別">
<math>\mathfrak{U}=\{X|</math> ある <math>a\in A</math> について <math>X=U_{\rho}(a)\}</math>
 
112 ⟶ 115行目:
をみたす．<math>\mathfrak{P}(A)</math> の部分集合 <math>\mathfrak{U}</math> がこの三条件をみたすとき <math>\mathfrak{U}</math> は <math>A</math> の類別といい，
各 <math>X \in \mathfrak{U} </math> はこの類別の'''同値類'''という．また <math>\rho</math> から上のように定められた <math>\mathfrak{U}</math> を
<math>\rho</math> から '''導かれた類別''' 類別という．
 
逆に <math>\mathfrak{U}</math> が <math>A</math> の任意の類別のとき，<math>a, b</math> が同一の <math>X \in \mathfrak{U}</math> に属するとき
118 ⟶ 121行目:
 
 
 
<div id="含意型">
<div id="終結式">
<div id="仮設式">
<div id="2.4">
<strong>2.4</strong>
 
2.2 の中で考察された <math>\rho</math> についての三つの条件，
[[関係, 同値関係#反射律|反射律]]，
133 ⟶ 139行目:
関係に関する条件がこの形をしているとき，この条件は '''含意型'''であるという．
 
[注] 特別な場合として[[関係, 同値関係#反射律|反射律]]のように[[圏論/代数系/関係, 同値関係#仮設式|仮設式]]の集合が空であってもかまわない．
この場合[[圏論/代数系/関係, 同値関係#終結式|終結式]]が無条件に成立つことを意味する．
 
<strong>補題　</strong><ref>
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