「圏論/代数系/関係, 同値関係」の版間の差分
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また同じことであるが，<math>a\sigma b</math> の条件として <math>a=b</math> であるかまたは
<div id="\tau鎖">
<div id="\tau鎖条件">
<div id="\tauから生成された同値関係>
<strong><math>\tau</math> 鎖条件：</strong> 元 <math>x_1, x_2, \cdots , x_{n - 1}</math> が存在し，
さらに <math>x_0 = a, x_n = b</math> として、
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<math>x_k \tau x_{k - 1}</math> である
がみたされることにすればよい．<ref>
これは必要条件である． </ref> このような <math>x_1, x_2, \cdots , x_{n - 1}</math> を <math>a</math> と <math>b</math> とを結ぶ '''<math>\tau</math> 鎖''' という．
上のように定めた <math>\sigma</math> が[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値関係|同値関係]]であること、また <math>\sigma</math> が
<math>\tau</math> より[[圏論/代数系/関係, 同値関係#強い関係|強い]][[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値関係|同値関係]]であれば，[[圏論/代数系/関係, 同値関係#\tau鎖|<math>\tau</math>
<math>a\sigma b</math> に対して <math>a\sigma b</math> でなければならないことは明らかである．
上の <math>\sigma</math> を <math>\tau</math> から'''生成された'''同値関係という．
213 ⟶ 220行目:
<strong>2.7 </strong>
<math>n</math> を正の整数とするとき、<math>a, b \in Z</math> に対して
<math>a - b</math> が <math>n</math> の倍数であるという[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]]
<math>a \equiv b \pmod n</math> は[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値条件|同値条件]]である．
<math>m</math> も正の整数のとき，[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>a \equiv b \pmod m</math> が
<math>a \equiv b \pmod n</math> より[[圏論/代数系/関係, 同値関係#強い関係|強くなる]]のは <math>m</math> が <math>n</math> の約数のときに限る．
同様に実数 <math>a, b</math> に対して
<math>a - b</math> が整数であるという[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>a \equiv b \pmod 1</math>，
<math>a - b</math> が有理数であるという[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>a \equiv b \pmod Q</math>，
<math>a - b</math> が代数的数であるという[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>q \equiv b \pmod{Alg. no.}</math>
等は <math>R</math> 上の[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値関係|同値関係]]で、この順に[[圏論/代数系/関係, 同値関係#強い関係|強く]]なっている．
<div id="対称差">
集合 <math>X, Y</math> に対して <math>X \triangle Y = (X \cup Y) - (X \cap Y)</math> を
<math>X</math> と <math>Y</math> の'''対称差''' という。
<math>X \triangle Y</math> が有限であるという[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]] <math>X \equiv Y \pmod{\mathfrak{a}}</math>，
<math>X \triangle Y</math> がある無限濃度 <math>\mathfrak{m}</math> より小さいという[[圏論/代数系/関係, 同値関係#関係|関係]]
<math>X \equiv Y \pmod{\mathfrak{m}}</math> は[[圏論/代数系/関係, 同値関係#同値関係|同値関係]]で，特に後者は <math>\mathfrak{m}</math>
が大きいほど[[圏論/代数系/関係, 同値関係#強い関係|強く]]なる．
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