「圏論/代数系/代数系」の版間の差分

削除された内容 追加された内容
編集の要約なし
編集の要約なし
18 行
これを <math>\rho</math> の <math>X</math> への'''制限'''といい,同じ記号 <math>\rho</math> で表し,またこれらの族も <math>\Sigma</math> で表す.
このようにして <math>\tilde{A}</math> の部分代数系 <math>X</math> はまた一つの代数系 <math>\tilde{X} = (X, \Omega, \Sigma)</math> を作る.
 
<strong>定理</strong><math>\quad</math> <math>\tilde{A} = (A, \Omega, \Sigma)</math> は代数系,<math>Y</math> は <math>A</math> の任意の部分集合とする.
このとき <math>Y</math> を含む <math>\tilde{A}</math> の部分代数系の中に最も小さいもの <math>\overline{Y}</math> が存在する.
 
<strong>証明</strong><math>\quad</math> <math>Y</math> を含む <math>\tilde{A}</math> の部分代数系全体の族を <math>\mathfrak{X}</math> とし,
<math>\overline{Y}=\bigcap \mathfrak{X}</math> として <math>\overline{Y}</math> がまた <math>\tilde{A}</math> の部分代数系であることを示せばよい.
実際,<math>a, b \in \overline{Y}</math> ならばすべての <math>X \in \mathfrak{X}</math> について <math>a, b \in X</math>,よって <math>\bot \in Q</math>
(仮に二項演算とする)に対して <math>a \bot b \in X</math>.これがすべての <math>X \in \mathfrak{X}</math> について成り立つから <math>a \bot b \in \overline{Y}</math>.(証明終)
 
この <math>\overline{Y}</math> を <math>Y</math> から'''生成された''' <math>\tilde{A}</math> の部分代数系という.