「高等学校数学I/図形と計量」の版間の差分
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三角形の面積公式、ヘロンの公式を追加。 |
指導要領に合わせて見出しを変更しました。 |
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== 図形と計量 ==
===三角比===
ここでは、[[w:三角比]]とそれを用いた定理を扱う。
ある三角形についてその三角形の3つの角を定めたとき、その三角形は完全には定まらない。このとき、その三角形の角の大きさを変えること無く、辺の長さの縮尺だけを変えることができるからである。しかし、そうであっても、角の大きさは三角形の情報の一種であり、なんらかの標準的な取り扱いをできるようにすることが望ましい。
ここでは、特に直角三角形に注目して、角の大きさを各々の辺の長さの比によって特徴づける方法を学ぶ。直角三角形では、辺の長さの比が対応する角によって一意に定まる。このような直角三角形の辺の長さの比を、三角比と呼ぶ。
====正弦、余弦、正接====
ある直角三角形を取りその角のうちの、直角でない角の1つの大きさを、<math>r</math> として、相対する辺の長さを<math>a</math>とする。更に、最も長い辺、つまり直角三角形の斜辺をの長さを<math>c</math>とし、それ以外の辺の長さを<math>b</math>とよぶ。
このとき、三平方の定理から、<math>a^2 +b^2 = c^2</math>が成り立つことに注意せよ。
[[画像:Right triangle to define sine or cosine.png|thumb|r,a,b,cの定義]]
このとき、直角三角形の直角以外の角度である
38 ⟶ 24行目:
r
</math>
は、各々の辺の長さの比によって特徴づけられる。実際、直角三角形においてある1つの角の大きさが
与えられているとき、そのような三角形は2つの角の大きさが知られていることから、互いに相似であることが知られるからである。
このとき、各々の辺の長さの比を、角の大きさ
:<math>
r
</math>
を特徴づける量として用いることが出来る。そのような、辺の長さの比は
:<math>
a:b,b:c,c:a
</math>
の3種類がある。実際にはこのうちの全てが、三角比を表わす量として用いられている。
三角比を表わす量として
67 ⟶ 47行目:
\tan
</math>
の3つがあげられる。ここでは、それぞれの量の定義を扱う。これらの量はそれぞれ日本語で正弦、余弦、正接の訳が与えられている。
このときsin r は、
101 ⟶ 79行目:
である。
====三角比の相互関係====
これらの式は、
:<math>
110 ⟶ 89行目:
</math>
となり、成立する。
*問題例
**問題
恒等式
:<math>
305 ⟶ 281行目:
===三角比と図形===
====正弦定理
=====正弦定理=====
ここでは、[[w:正弦定理]]と[[w:余弦定理]]という2つの定理を扱う。これらは三角比を用いた定理であり、任意の三角形について成立する定理である。
最初に正弦定理を使う。三角形の辺の長さがa,b,cと与えられ、相対する角の大きさがA,B,Cと与えられるとき
:<math>
\frac a {\sin A} = \frac b {\sin B} = \frac c {\sin C} = 2R
315 ⟶ 293行目:
が成り立つ。ここで、 R は、三角形の外接円の半径である。
*導出
最初に三角形が直角三角形であるときについて考える。直角三角形で,90<math>{}^\circ</math>の角をCとおき、対応する辺をcとする。このとき、外接円の半径をRとすると、
:<math>
2R = c
329 ⟶ 300行目:
= \frac c {\sin C }
</math>
が成り立つ。よって、角Cについて正弦定理が確かめられた。辺aについても図の三角形が直角三角形であることを用いると、
:<math>
a = 2R \sin A
</math>
が成り立つ。Bについても同様である。よって、三角形が直角三角形であるとき、正弦定理は示された。
次に三角形が鋭角三角形であるときを考える。特に角Aに注目する。Aと同じ円周角を持つ点の中で、角CBDが<math>90^\circ</math>になるように、点Dをとる。
:[[画像:Acute angle triangle for cos theorem.png|thumb|鋭角三角形についての導出]]
このとき、三角形BCDについて、<math>\sin</math>の定義から、
:<math>
BC = CD \sin A
</math>
(角BDC = 角Aに注意。これは円周角が互いに等しいことによる。)となり、
:<math>
\frac a {\sin A}= CD = 2R
</math>
が得られて、正弦定理が角Aについて示された。角B、角Cについても同様に示すことが出来る。
最後に鈍角三角形の場合について考える。鈍角三角形の2つの鋭角については上と同じ証明を用いることが出来る。鈍角をCと書き、角ABD= <math>90{}^\circ</math>となるように点Dを取る。
:[[画像:Obtuse angle triangle for cos theorem.png|thumb|鈍角三角形での導出]]
ここで、角BDA = <math>180^\circ</math> - 角Cが成り立つ。(これは円に内接する四角形の相対する角a,bについてa+b =<math>180^\circ</math>が成り立つことによる。)これを用いると、
:<math>
AB = c = 2R \sin (180^\circ - C)= 2R \sin C
</math>
となり、確かにこの場合も成立する。よって、全ての三角形について正弦定理が示された。
*問題例
**問題
484 ⟶ 430行目:
c^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cos C
</math>
これらの式は、それぞれ対応する式を、a,b,cについて解いたものになっていることに注意。
導出
上の絵で、点Bから線分ACに対して垂線を下ろし、垂線と線分ACがぶつかった点をHと呼ぶ。
*図
このとき、CHの長さはa cos C と表わせ、BHの長さはa sin C と表わせる。三角形ABHについて三平方の定理を用いると、
:<math>
AH^2 + BH^2 = AB^2
510 ⟶ 449行目:
b^2 - 2a b \cos C + a^2 = c^2
</math>
となり、求めたい式に対応した式が得られた。頂点A、Bについても同様にして求めることが出来る。
*問題例
**問題
三角形ABCについて、辺の長さ
:<math>
567 ⟶ 502行目:
**解答
元々の条件で三角形ABCは、2辺AB,BCとその間の角
:<math>
\angle B
</math>
が知られていた。そのため、この三角形は完全に決まっており、それぞれの角の大きさも知られるはずである。
それぞれの角の大きさを計算するためには、角の大きさのための余弦定理を使うのがよい。ただし、2つの角の大きさが求められたら、3つめの角は余弦定理によるまでもなく、
:三角形の3内角の和 = <math>180 {}^\circ</math>
によって計算することが出来る。
まず、角Aを求める。余弦定理を用いると、
:<math>
\cos A = \frac{AB ^2 + AC^2 - BC ^2}{2 AB \cdot AC}
602 ⟶ 531行目:
\cos A = \frac 1 {\sqrt{13}}
</math>
は簡単に計算することは出来ないが、数値的に値を知ることは出来る。仮にこの値を
:<math>
a {}^\circ
</math>
とすると、角Cは、
:<math>
\angle C = 180 {}^\circ
629 ⟶ 555行目:
**問題
三角形ABCについて、3辺の長さ、3角の大きさのうち、いくつかの量が与えられているとする。このとき、与えられた量以外の量を計算せよ。
(i)
642 ⟶ 565行目:
AB = 5, \angle A = 45 ^ \circ , C = 75^\circ
</math>
**解答
(i)
余弦定理によって、
671 ⟶ 591行目:
\angle A, \angle C
</math>
を定めることができる。(余弦定理を用いて計算することもできる。 ）実際に計算すると、
:<math>
\sin \angle C = \frac {2} {\sqrt{37}}
692 ⟶ 610行目:
= 60 ^ \circ
</math>
が得られる。さらに正弦定理を用いると、
:<math>
\frac 5 {\sin \angle C }
701 ⟶ 618行目:
= \frac {AC} {\sin \angle B}
</math>
が得られる。これを解くと、
:<math>
BC = \frac {5\sqrt 6} 3
713 ⟶ 629行目:
\sin 75 ^\circ
</math>
の値は、最も簡単な計算法は[[高等学校数学II]]で与えられる。詳しくは[[高等学校数学II いろいろな関数]]を参照。答えは、
:<math>
\frac {\sqrt 6 + \sqrt 2} 4
726 ⟶ 640行目:
====図形の計量====
=====相似形の面積比、体積比=====
長さの比が2倍になると面積は4倍になる。一般に、長さの比が <math>a</math> 倍になると面積は <math>a^2</math> 倍になる。長さの比が2倍になると体積は8倍になる。一般に、長さの比が <math>a</math> 倍になると体積は <math>a^3</math> 倍になる。
=====球の表面積、体積=====
<!-- 平面図形や簡単な空間図形の計量?? -->
=====3角形の面積公式=====
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