「制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化」の版間の差分

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このような疑問もあって,彼の仕事は生前は必ずしも正しく評価されなかったという.
しかしその成果の豊かさには目をみはるものがある.
そのことが,幾人かの数学者の注意を引き、1920 年前後には,[[w:en:Thomas_John_I%27Anson_Bromwich|T.Bromwitch]],[[w:de:Karl_Willy_Wagner|K. W. Wagner]],[[w:en:John_Renshaw_Carson|J. R. Carson]] などにより,正当化が試みられ,
多くの応用を生み,これらは,[[w:en:Gustav_Doetsch|G. Doetsch]] による [[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]による厖大な著作<ref>
Handbuch der Laplace-Transformation 3巻 (1950, 1955, 1956, Springer)
</ref>
としてまとめられている.
 
 
==§2==
 
さてその合理化の方法であるが,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x' = px, \int xdt = \frac{1}{p}x</math>}}
すなわち,微分すれば <math>p</math> となり,積分すれば <math>\frac{1}{p}</math> となる関数は手近なところに見出される.それは指数関数
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{pt}</math>}}
である.ここに <math>p</math> は実数または複素数である.この事実に留意して <math>x(t)</math> に対する微分や積分を <math>e^{pt}</math> に肩代わりさせることを試みよう.
それは部分積分<ref>
部分積分を復習しておく.関数 <math>f(x), g(x)</math> の積 <math>f(x)g(x)</math> の <math>x</math> による微分は<br />
<math>\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)</math><br />
ゆえに <math>f(x)g'(x) = \{ f(x)g(x) \}' - f'(x)g(x)</math><br />
両辺を <math>x</math> で積分すると <math>\int f(x)g'(x) = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x)dx</math>
</ref>を通じて可能となる.すなわち
{{制御と振動の数学/equation|関数:<math>f(t), g(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|導関数:<math>f'(t), g'(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|原始関数:<math>F(t), G(t)</math>}}
とすると,部分積分は
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int f'(t)g(t)dt</math> を <math>\int f(t)g'(t)</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int F(t)g(t)dt</math> を <math>\int f(t)G(t)</math>}}
に変える技法であるから,まず
 
 
(a)
 
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = x(t), g(t) = e^{-pt}</math>}}
とおくと,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T x'(t)e^{-pt}dt = x(T)e^{-pT} - x(0) + p \int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math><ref><math>x'(t)</math> を積分、<math>e^{-pt}</math> を微分した.</ref>}}
となる.ここで,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(T)e^{-pt} \to 0 \quad (T -> \infty)</math>}}
となるならば<ref>
<math>|x(t)|<Me^{\alpha t} (\alpha</math> は実数) ならば,<math>p > \alpha</math> のとき可能.このような <math>x(t)</math> を指数位の関数という.
</ref>,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0)</math>|tag=(1.18)|label=eq:1.18}}
となる.そこで今,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) \mapsto \tilde{X}(p) := p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>|tag=(1.19)|label=eq:1.19}}
のような対応(積分変換)を考えると,式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.18|(1.18)]] は
{{制御と振動の数学/equation|<math>x'(t) \mapsto p \tilde{X}(p) - px(0)</math><ref>
さらに精緻にみていく.<math>x(t) \mapsto \tilde{X}(p) = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>.したがって<br />
<math>x'(t) \mapsto p \int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt</math>.<br />
ここで式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.18|(1.18)]] よりただちに<br />
<math>\int_0^\infty x'(t)e^{-pt}dt = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0)</math><br />
ゆえに <math>x'(t) \mapsto p \left[ p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - x(0) \right]</math><br />
<math>x'(t) \mapsto p \cdot p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt - px(0)</math><br />
ここで <math>\tilde{X}(p) = p \ \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math> だから<br />
<math>x'(t) \mapsto p \tilde{X}(x) - px(0)</math>.<br />
</ref>|tag=(1.20)|label=eq:1.20}}