「制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化」の版間の差分
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<strong>(a)</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>f(t) = x(t), g(t) = e^{-pt}</math>}}
54 行
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T x'(t)e^{-pt}dt = x(T)e^{-pT} - x(0) - (-p) \int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math><ref><math>x'(t)</math> を積分、<math>e^{-pt}</math> を微分した．</ref>}}
となる．ここで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(T)e^{-
となるならば<ref>
<math>|x(t)|<Me^{\alpha t} (\alpha</math> は実数) ならば，<math>p > \alpha</math> のとき可能．このような <math>x(t)</math> を指数位の関数という．
74 行
式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.12|(1.12)]] と比較せよ．
</ref>|tag=(1.20)|label=eq:1.20}}
となる．
<strong>(b)</strong>
次に，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(t)=\int_0^t x(\tau)d\tau, \quad g(t) = e^{-pt}</math>
<ref>部分積分 <math>\int F(t)g(t)dt = F(t)G(t) - \int f(t)G(t)dt</math> を適用する．
</ref>}}
とおいて部分積分を考えると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T F(t)e^{-pt}dt = \left[ F(t)(-\frac{1}{p})e^{-pt} \right]^T_0 - \frac{(-1)}{p}\int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^T F(t)e^{-pt}dt = -\frac{F(T)}{p}e^{-pT} + \frac{1}{p}\int_0^T x(t)e^{-pt}dt</math>}}
となる．ここでも，
{{制御と振動の数学/equation|<math>F(T)e^{-pT} \to 0 (T \to \infty)</math>}}
となるならば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt</math><math> = \frac{1}{p}\int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>}}
となる．対応 式 [[[[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.19|(1.19)]] を考えれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto \frac{1}{p}\tilde{X}(p)</math>|tag=(1.21)|label=eq:1.21}}
を得る<ref>
<math>x(t) \mapsto \tilde{X}(p) = p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math>．したがって<br />
<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto p\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt</math>．<br />
<math>\int_0^\infty \left \{ \int_0^t x(\tau)d\tau \right \} e^{-pt}dt = \frac{1}{p}\int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math> であるから，<br />
<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto p \frac{1}{p} \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt = \frac{1}{p} \cdot p \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math><br />
ここで <math>\tilde{X}(p) = p \ \int_0^\infty x(t)e^{-pt}dt</math> だから<br />
<math>\int_0^t x(\tau)d\tau \mapsto = \frac{1}{p} \tilde{X}(p)</math>．
</ref>．
式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.20|(1.20)]] と [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.21|(1.21)]] は我々が求めていた関係である<ref>
さらに [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.13|式(1.13)]] については，
<math>e^{at} \mapsto p \int_0^\infty e^{at}e^{-pt}dt = p\int_0^\infty e^{(a - p)t}dt = \frac{p}{a - p} \left[ e^{(a - p)t} \right]_\infty^0 = \frac{p}{p - a}</math>．（ただし <math>p > a</math>を仮定しなければならない．）
</ref>．
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