「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

:<math>\boldmathbf a=

:<math>\boldmathbf a= \begin{pmatrix} a_1 && a_2 && \cdots && a_n \end{pmatrix}</math>

'''K'''を成分とするn次列ベクトル全体の集合を<math>\boldmathbf K^n</math>で表す。

: <math>\boldmathbf K^n = \left\{ \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\\ \end{pmatrix} \Bigg| a_1, a_2, \cdots, a_n \in \boldmathbf K \right\}</math>

<math>\boldmathbf K = \R</math>のとき<math>\R^n</math>は実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、<math>\boldmathbf K = \CComplex</math>のとき<math>\CComplex^n</math>は複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。

2つのn次列ベクトル<math>\boldmathbf a, \boldmathbf b \in \boldmathbf K^n</math>が「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、

:<math>\boldmathbf a , \boldmathbf b \in \boldmathbf K^n , \boldmathbf a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}, \boldmathbf b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}</math> のとき

:<math>\boldmathbf a = \boldmathbf b \iff \forall i \in \{1,2,\cdots,n\}, a_i = b_i</math>

\end{pmatrix} \in \boldmathbf K^n

について、ベクトルの和 <math>\boldmathbf a + \boldmathbf b</math>を次のように定義する。

ベクトルの和に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\boldmathbf a, \boldmathbf b, \boldmathbf c \in \boldmathbf K^n</math>であり、<math>\boldmathbf o \in \boldmathbf K^n</math>は零ベクトルである。

\end{pmatrix} \in \boldmathbf K^n

と定数<math>\lambda \in \boldmathbf K</math>について、ベクトルの定数倍 <math>\lambda \boldmathbf a</math>を次のように定義する。

ベクトルの定数倍に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\boldmathbf a, \boldmathbf b \in \boldmathbf K^n, \lambda, \mu \in \boldmathbf K</math>である。

*<math>\lambda(\boldmathbf a+\boldmathbf b)=\lambda \boldmathbf a + \lambda \boldmathbf b</math>

*<math>(\lambda +\mu ) \boldmathbf a = \lambda \boldmathbf a + \mu \boldmathbf a</math>

*<math>(\lambda\mu)\boldmathbf a= \lambda(\mu\boldmathbf a)</math>