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「線型代数学/行列概論」の版間の差分

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11 行
{{定義|0.2.1}}
'''K'''を[[https://ja.wikipedia.org/wiki/体_(数学) 体]]とする。本書では、実数全体の作る体あるいは複素数全体の作る体と考えてよい。<br/>　
数mと数nはそれぞれ自然数とする、つまり<math>m,n \in \N</math> とする。mn個の'''K'''の元 <math>a_{i,j}\in\boldmathbf K(i=1,2,\cdots,m,~j=1,2,\cdots,n)</math>を、丸括弧で囲んだ中に次のように縦にm個、横にn個、表のように並べて書いたものを、m行n列の'''行列'''(matrix)と言う。(m&times;n)-行列とも言う。
:<math>\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,n}\\
21 行
行列を表す時に、（ ）ではなく [ ] で囲むこともしばしばある。本書ではすべて（ ）で統一することにする。
 
この行列を構成する<math>a_{i,j}\in \boldmathbf K</math>を行列の'''成分'''(element)と言う。横に並んだ一列を'''行'''(row)、縦に並んだ一列を'''列'''(column)と言う。上からi番目の行を第i行といい、左からj番目の列を第j列と言う。行列内の第i行、第j列に位置する成分を、この行列の(i,j)-成分と言う。しばしば行列AをA=(a<sub>i,j</sub>)と書くことがあるが、これは(i,j)-成分がa<sub>i,j</sub>であるような行列を示す。成分が全て実数の行列を実行列と言い、成分が全て複素数の行列を複素行列という。また、m=nの場合、(n&times;n)-行列を特に'''n次正方行列'''あるいは'''n次行列'''と呼ぶ。
{{定義終わり}}
 
35 行
{{定義|0.2.4}}
2つの(m&times;n)-行列A,Bに関し、AとBが等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、
:<math>A,B \in M(m,n;\boldmathbf K), A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j}) (i=1,\cdots,m,~j=1,\cdots,n)</math>のとき、
:<math>A = B \iff \forall i,j,~a_{i,j} = b_{i,j}</math>
{{定義終わり}}
41 行
== 演算 ==
=== 和・定数倍 ===
2個のm行n列行列<math>A</math>と<math>B</math>について、つまり<math>A,B \in M(m,n;\boldmathbf K)</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。
{{定義|0.2.5}}
<math>A=\begin{pmatrix}
62 行
{{定義終わり}}
 
また、行列<math>A \in M(m,n;\boldmathbf K)</math>と定数<math>\lambda \in \boldmathbf K</math>について、行列の定数倍 <math>\lambda A</math> を次のように定義する。
{{定義|0.2.6}}
<math>A=\begin{pmatrix}
86 行
次の性質は明らかであろう。
{{定理|0.2.8}}
m行n列の3個の行列A,行列B,行列Cについて、つまり３個の行列<math>A, B, C \in M(m,n;\boldmathbf K)</math>について 、任意の２個の定数を<math>\lambda, \mu \in \boldmathbf K</math>とすると、以下の関係が成り立つ。
* 結合法則: (A+B)+C=A+(B+C)
* 交換法則: A+B=B+A
97 行
 
=== 積 ===
２個の行列<math>A</math>と<math>B</math>について、Aの列数とBの行数が同じで<math>A \in M(m,n;\boldmathbf K), B \in M(n,l;\boldmathbf K)</math>の場合に、行列の積ABを次のように定義する。
{{定義|0.2.9}}
<math>A=\begin{pmatrix}
117 行
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
c_{m,1} & c_{m,2} & \cdots & c_{m,l}\\
\end{pmatrix} \in M(m,l;\boldmathbf K)</math>
と定める。
{{定義終わり}}
184 行
行列の積について、次が成り立つ。
{{定理|0.2.10}}
# <math>A \in M(m,n;\boldmathbf K),~B,C \in M(n,l;\boldmathbf K)</math> のとき、
#: A(B+C)=AB+AC
# <math>A, B \in M(m,n;\boldmathbf K),~C \in M(n,l;\boldmathbf K)</math> のとき、
#: (A+B)C=AC+BC
# <math>A \in M(m,n;\boldmathbf K)</math> のとき、
#: <math>AO_{n,l}=O_{m,l}, ~O_{k,m}A=O_{k,n}</math>
# 特に、<math>A \in M(n;\boldmathbf K)</math> のとき、
#: <math>AO_{n}=O_{n}A=O_{n}</math>
{{定理終わり}}
198 行
==単位行列==
{{定義|0.2.11}}
<math>A=(a_{i,j}) \in M(n;\boldmathbf K)</math> に対して、成分<math>a_{k,k} \in \boldmathbf K, ~k=1,\cdots,n</math>を、n次正方行列Aの'''対角成分'''（diagonal element）という。
{{定義終わり}}
 
210 行
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 1
\end{pmatrix} \in M(n;\boldmathbf K)</math>
である。
{{定義終わり}}
217 行
単位行列は次の性質をもつ。
{{定理|0.2.13}}
* <math>A \in M(m,n;\boldmathbf K), ~ AE_n = A</math>
* <math>B \in M(n,l;\boldmathbf K), ~ E_nB = B</math>
特に、<math>A \in M(n;\boldmathbf K)</math>であれば、
: <math>AE_n = E_nA = A</math>
である。
233 行
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}
\end{pmatrix} \in M(m,n;\boldmathbf K)</math> に対して
:<math>\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{2,1} & \cdots & a_{m,1}\\
239 行
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{1,n} & a_{2,n} & \cdots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix} \in M(n,m;\boldmathbf K)</math>
をAの'''転置行列'''（transposed matrix）と言い、<math>^tA</math>と表す。
{{定義終わり}}
246 行
以下のような性質が成り立つ。
{{定理|0.2.15}}
# <math>A \in M(m,n;\boldmathbf K)</math>のとき、
#: <sup>t</sup>(<sup>t</sup>A)=A
# <math>A, B \in M(m,n;\boldmathbf K)</math>のとき、
#: <sup>t</sup>(A+B)=<sup>t</sup>A+<sup>t</sup>B
# <math>A \in M(m,n;\boldmathbf K), \lambda \in \boldmathbf K</math>のとき、
#: <math>^t(\lambda A) = \lambda (^tA)</math>
# <math>A \in M(m,n;\boldmathbf K),~B \in M(n,l;\boldmathbf K)</math>のとき、
#: <sup>t</sup>(AB)=<sup>t</sup>B<sup>t</sup>A
{{定理終わり}}
 
== 複素行列 ==
この項では、<math>\boldmathbf K = \CComplex</math>として話を進める。
{{定義|0.2.16}}
行列 <math>A=(a_{i,j}) \in M(m,n;\CComplex)</math> の全ての成分をその複素共役と置き換えた行列
:<math>(\overline{a_{i,j}}) \in M(m,n;\CComplex)</math>
を、Aの'''複素共役行列'''（complex conjugate matrix）といい、<math>\overline{A}</math> で表す。
{{定義終わり}}
266 行
以下のような性質がある。
{{定理|0.2.17}}
<math>A, B \in M(m,n;\CComplex), ~C \in M(n,l;\CComplex), ~\lambda \in \CComplex</math>のとき、
* <math>\overline{\overline{A}}=A</math>
* <math>\overline{A+B}=\overline{A}+\overline{B}</math>
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