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「線型代数学/行列の基本変形」の版間の差分

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6 行
===定義===
以下の3種の行列,<math>
\ P(i,j),Q(i;c),R(i,j;c) \in \ M(n;\boldmathbf K)</math>を基本行列（fundamental matrix）という。
 
:<math>
79 行
===定理と定義===
<math> \forall A \in M(m,n;\boldmathbf K) </math> は基本変形によって以下の形に一意的に変形できる。
:<math>
\begin{pmatrix}
I_r & \boldmathbf 0_{n-r,r}\\
\boldmathbf 0_{m-r,r} & \boldmathbf 0_{m-r,n-r}\\
\end{pmatrix} </math>
 
97 行
今、<math> \ a_{i,j} \neq 0 </math> としても一般性は失われない。
 
まず、<math> \ R(k,j;-a_{k,j}/a_{i,j}) \in M(m;\boldmathbf K) (1 \leq k \leq j-1,j+1 \leq k \leq m) </math> を左からかけると
:<math>
\begin{pmatrix}
110 行
となる。
 
次に、<math> \ R(i,l;-a_{i,l}/a_{i,j}) \in M(n;\boldmathbf K) (1 \leq l \leq i-1, i+1 \leq l \leq n) </math> を右からかけると
:<math>
\begin{pmatrix}
123 行
となる。
そして、<math> \ P(1,i) \in M(m;\boldmathbf K) </math> を左から、<math> \ P(1,j) \in M(n;\boldmathbf K)</math> を右からかけ、さらに<math> \ Q(1;1/a_{i,j}) \in M(m;\boldmathbf K)</math> を左からかければ、
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & \boldmathbf 0 \\
\boldmathbf 0 & B\\
\end{pmatrix}
\ B \in M(m-1,n-1; \boldmathbf K) </math>
となる。<math> B \neq 0 </math> なら上と同じ操作をすれば、帰納的に求めたい形になる。
 
136 行
 
Aに基本変形を施して以下の２つの形になったとする。
:<math> S = \begin{pmatrix} I_s & \boldmathbf 0\\ \boldmathbf 0 & \boldmathbf 0\\ \end{pmatrix} ,T = \begin{pmatrix} I_t & \boldmathbf 0\\ \boldmathbf 0 & \boldmathbf 0\\ \end{pmatrix} </math>
ここで、基本変形の正則性から、正則行列 <math> \ P \in M(m;\boldmathbf K) \ Q \in M(n;\boldmathbf K) </math>　が存在して、
:<math> T = PSQ = \begin{pmatrix} P_{s,s} & P_{s,m-s}\\ P_{m-s,s} & P_{m-s,m-s}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_s & \boldmathbf 0\\ \boldmathbf 0 & \boldmathbf 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q_{s,s} & Q_{s,n-s}\\ Q_{n-s,s} & Q_{n-s,n-s}\\ \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} P_{s,s}Q_{s,s} & P_{s,s}Q_{s,n-s}\\ P_{m-s,s}Q_{s,s} & P_{m-s,s}Q_{s,n-s}\\ \end{pmatrix} </math>
したがって<math>
\ P_{s,s}Q_{s,s} = I_s ,\ P_{s,s}Q_{s,n-s} = \boldmathbf 0 ,\ P_{m-s,s}Q_{s,s} = \boldmathbf 0 </math>　が成り立つ。
 
これから、
<math> \ P_{s,s} ,\ Q_{s,s} </math> は正則だから
<math> \ P_{m-s,s}Q_{s,n-s} = \boldmathbf 0 </math>
 
∴ <math> \ r = s </math> □
 
またこのことから、<math> A \in M(n; \boldmathbf K) </math>　において
:<math> \ rank(A) = n \Leftrightarrow A </math> は正則
 
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