「線型代数学/逆行列」の版間の差分
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==逆行列の定義==
{{定義|1.1.1}}
体<math>\
:<math> \ AX = XA = I_n </math>
となるような行列<math>X \in \ M(n,; \
{{定義終わり}}
26 行
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">1.1.3の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;"><math>\ A </math> の逆行列として<math>\ X </math>の他に <math>\ Y </math>が存在したとすると
:<math>\ AX-AY = A(X-Y) = \
<math>\ A^{-1} </math>を左からかければ
:<math>\ X-Y = \
∴<math>\ X = Y </math> である。□</div></div>
40 行
===逆行列に関する演算===
{{定理|1.1.5}}
条件<math> \ A,P_1,\ldots ,P_m \in \ M(n; \
*<math> \ A = P_1 \cdots P_m \Rightarrow \ A^{-1} = P_m^{-1} \cdots P_1^{-1} </math>
*<math> \ (^tA)^{-1} = ^tA^{-1} </math>
50 行
まず、次の補題を示す。
{{補題|1.1.6}}
<math> \ C = \begin{pmatrix} \ A & \
{{補題終わり}}
57 行
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
:<math>(\Rightarrow) \ C </math> の逆行列を <math> \ Y </math> とすると、
:<math> \ CY = \begin{pmatrix} \ A & \
:<math> \ YC = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ A & \
したがって、<math> \ AY_{n,n} = Y_{n,n}A = I_n ,\ BY_{m,m} = Y_{m,m}B = I_m </math> が成り立つので、<math> \ A, \ B </math> は正則。□
:<math>(\Leftarrow) \begin{pmatrix} \ A^{-1} & \
<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則。□</div></div>
76 行
<math>\ n = k </math>のとき定理は正しいと仮定する。
<math>\ A,X \in \ M(k+1; \
<math>\ A \neq \
:<math>\ PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\
また、
<math>\ Q^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\
:<math> \ I_{k+1} = PAQQ^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\
:<math> u = 1,^t\
ここで、帰納法の仮定と補題より<math> BX' = I_k \Leftrightarrow B </math> は正則。 <math>\Leftrightarrow PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\
<math> \ P,Q </math> は正則だから <math>\ A</math> も正則。
95 行
以下の文で説明するが、まず、正則行列は基本行列の積で表わせる。また、正則行列は左基本変形だけで(もしくは右基本変形だけで)単位行列に変形できる。
なぜなら、仮に行列<math> \ A \in M(n;\
:<math>\ PAQ = I_n </math>
をみたす基本行列の積の行列 <math>\ P \in M(n; \
:<math>\ A = P^{-1}Q^{-1}</math> ,および <math>\ A^{-1} = QP </math>
が成り立つ。基本行列の逆行列は基本行列であるから、以上の考察より正則行列は基本行列の積で表わせることが分かる。
106 行
以上のことから次の定理が成り立つ。
{{定理|1.1.7}}
仮に行列<math>\ A \in \ M(n; \
:<math>\begin{pmatrix} \ A & \ I_n \\ \end{pmatrix} </math>
を左基本変形することで以下の行列を得たとする。
:<math>\begin{pmatrix} \ I_n & \ B \\ \end{pmatrix} </math> (ただし<math> \ B \in \ M(n;\
このとき、<math> \ A^{-1} = B </math> である。
{{定理終わり}}
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