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「線型代数学/逆行列」の版間の差分

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7 行
==逆行列の定義==
{{定義|1.1.1}}
体<math>\boldmathbf K</math>上のn次正方行列<math> A \in \ M(n; \boldmathbf K) </math>に対して、
:<math> \ AX = XA = I_n </math>
となるような行列<math>X \in \ M(n,; \boldmathbf K)</math> が存在するとき、行列<math> \ X</math>は行列<math> \ A </math>の逆行列（inverse matrix）であるといい、<math>\ X = \ A^{-1} </math>と書く。
{{定義終わり}}
 
26 行
<div class="ProofHead" align="left" style="font-size:120%; padding-left:1em; font-weight: bold; background: #efefef; position:relative;">1.1.3の証明</div>
<div class="NavContent" style="padding: 5px;"><math>\ A </math> の逆行列として<math>\ X </math>の他に <math>\ Y </math>が存在したとすると
:<math>\ AX-AY = A(X-Y) = \boldmathbf 0 </math>
<math>\ A^{-1} </math>を左からかければ
:<math>\ X-Y = \boldmathbf 0 </math>
∴<math>\ X = Y </math>　である。□</div></div>
 
40 行
===逆行列に関する演算===
{{定理|1.1.5}}
条件<math> \ A,P_1,\ldots ,P_m \in \ M(n; \boldmathbf K) </math> をみたす行列<math> \ A</math>、行列<math> P_1</math>・・・、行列<math> P_m</math>がそれぞれ正則であるとき、以下が成り立つ。
*<math> \ A = P_1 \cdots P_m \Rightarrow \ A^{-1} = P_m^{-1} \cdots P_1^{-1} </math>
*<math> \ (^tA)^{-1} = ^tA^{-1} </math>
50 行
まず、次の補題を示す。
{{補題|1.1.6}}
<math> \ C = \begin{pmatrix} \ A & \boldmathbf 0_{n,m} \\ \boldmathbf 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} </math> が正則。　<math> \Leftrightarrow \ A, \ B </math> が正則。　　　　（ ただし<math>\ A \in \ M(n;\boldmathbf K)</math> ,かつ <math>\ B \in\ M(m;\boldmathbf K)</math> ）
{{補題終わり}}
 
57 行
<div class="NavContent" style="padding: 5px;">
:<math>(\Rightarrow) \ C </math> の逆行列を　<math> \ Y </math> とすると、
:<math> \ CY = \begin{pmatrix} \ A & \boldmathbf 0_{n,m} \\ \boldmathbf 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ AY_{n,n} & \ AY_{n,m} \\ \ BY_{m,n} & \ BY_{m,m}\\ \end{pmatrix} = I_{n+m} </math>
:<math> \ YC = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ A & \boldmathbf 0_{n,m} \\ \boldmathbf 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} A & \ Y_{n,m} B \\ \ Y_{m,n} A & \ Y_{m,m} B\\ \end{pmatrix} = I_{n+m}</math>
 
したがって、<math> \ AY_{n,n} = Y_{n,n}A = I_n ,\ BY_{m,m} = Y_{m,m}B = I_m </math> が成り立つので、<math> \ A, \ B </math> は正則。□
:<math>(\Leftarrow) \begin{pmatrix} \ A^{-1} & \boldmathbf 0_{n,m}\\ \boldmathbf 0_{m,n} & \ B^{-1}\\ \end{pmatrix} </math> は、
 
<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則。□</div></div>
76 行
<math>\ n = k </math>のとき定理は正しいと仮定する。
 
<math>\ A,X \in \ M(k+1; \boldmathbf K) </math> が　<math>\ AX = I_{k+1} </math> をみたしているとき、
 
<math>\ A \neq \boldmathbf 0</math>　なので、基本行列の積　<math>\ P,Q \in \ M(k+1;\boldmathbf K) </math> が存在して、
:<math>\ PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\boldmathbf 0 \\ \boldmathbf 0 & \ B \\ \end{pmatrix}</math> と変形できる。（ただし <math> \boldmathbf 0 \in \boldmathbf K^{k} </math> ）
また、
<math>\ Q^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\boldmathbf v\\ \boldmathbf w & \ X' \end{pmatrix} </math> とおけば、（ただし <math>u \in \boldmathbf K,\boldmathbf v,w \in \boldmathbf K^{k},\ X' \in \ M(k; \boldmathbf K) </math> ）
:<math> \ I_{k+1} = PAQQ^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\boldmathbf v\\ \ B\boldmathbf w & \ BX'\\ \end{pmatrix}</math> より
:<math> u = 1,^t\boldmathbf v = \boldmathbf 0,B\boldmathbf w = \boldmathbf 0,BX' = I_{k} </math> となる。
 
ここで、帰納法の仮定と補題より<math> BX' = I_k \Leftrightarrow B </math> は正則。　<math>\Leftrightarrow PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\boldmathbf 0 \\ \boldmathbf 0 & \ B \\ \end{pmatrix} </math> は正則。（ ただし <math> \boldmathbf 0 \in \boldmathbf K^{k} </math> ）
 
<math> \ P,Q </math> は正則だから　<math>\ A</math> も正則。
95 行
以下の文で説明するが、まず、正則行列は基本行列の積で表わせる。また、正則行列は左基本変形だけで（もしくは右基本変形だけで）単位行列に変形できる。
 
なぜなら、仮に行列<math> \ A \in M(n;\boldmathbf K) </math> が正則であるとすれば、このとき、正則の定義より、関係式
:<math>\ PAQ = I_n </math>
 
をみたす基本行列の積の行列　<math>\ P \in M(n; \boldmathbf K) </math>と <math>\ Q \in M(n; \boldmathbf K) </math>とが、それぞれ存在する。<math>\ P, \ Q </math>は、それぞれ正則だから
:<math>\ A = P^{-1}Q^{-1}</math> ,および <math>\ A^{-1} = QP </math>
が成り立つ。基本行列の逆行列は基本行列であるから、以上の考察より正則行列は基本行列の積で表わせることが分かる。
106 行
以上のことから次の定理が成り立つ。
{{定理|1.1.7}}
仮に行列<math>\ A \in \ M(n; \boldmathbf K) </math> が正則行列のとき、
:<math>\begin{pmatrix} \ A & \ I_n \\ \end{pmatrix} </math>
を左基本変形することで以下の行列を得たとする。
:<math>\begin{pmatrix} \ I_n & \ B \\ \end{pmatrix} </math>　（ただし<math> \ B \in \ M(n;\boldmathbf K)</math>）
このとき、<math> \ A^{-1} = B </math>　である。
{{定理終わり}}
"https://ja.wikibooks.org/wiki/線型代数学/逆行列" より作成