「線型代数学/基底と次元」の版間の差分

<math> <\boldmathbf e_1,\boldmathbf e_2,\cdots,\boldmathbf e_n> ,\boldmathbf e_i \in \ V (1 \leq i \leq n)</math> が次の２つをみたすとき、

<math> <\boldmathbf e_1,\boldmathbf e_2,\cdots,\boldmathbf e_n> </math>は<math>\ V </math> の基底であるという。

１）<math>\boldmathbf e_1,\boldmathbf e_2,\cdots,\boldmathbf e_n </math>　は線型独立。

２）任意の<math>\ V </math>の元は　<math>\boldmathbf e_1,\boldmathbf e_2,\cdots,\boldmathbf e_n </math>　の線型結合で表わされる。

つまり一言でいえば、'''任意の<math>\ V </math>の元は　<math>\boldmathbf e_1,\boldmathbf e_2,\cdots,\boldmathbf e_n </math>　の線型結合によって一意的に表わされる'''、ということである。

このとき、<math>\boldmathbf e_1 = \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix},\boldmathbf e_2 = \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix}

,\boldmathbf e_3 = \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} </math>

<math>\boldmathbf e_1 = \begin{pmatrix} 2\\1\\0 \end{pmatrix},\boldmathbf e_2 = \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix}

,\boldmathbf e_3 = \begin{pmatrix} 0\\-1\\1 \end{pmatrix} </math>

<math> <\boldmathbf e_1,\boldmathbf e_2,\cdots,\boldmathbf e_n> ,\boldmathbf e_i \in \ V (1 \leq i \leq n)</math> 、

<math> <\boldmathbf f_1,\boldmathbf f_2,\cdots,\boldmathbf f_m> ,\boldmathbf f_i \in \ V (1 \leq i \leq m)</math>　がどちらも<math>\ V </math>の基底であるとする。

<math> \ A \in \ M(m,n; \boldmathbf K), \ B \in \ M(n,m; \boldmathbf K) </math>が次の2式をみたすとする。