「線型代数学/計量ベクトル空間」の版間の差分

==<math>\R,\CComplex</math> 上の線型空間でのノルム・内積==

<math>\ V</math>　を　<math>\R </math>　または　<math>\CComplex</math>上の線型空間とする。（以下、<math>\boldmathbf K</math> は一般の体ではなく、実数体 <math>\R </math>または複素数体 <math>\CComplex</math>を指すことにする ）

<math> \boldmathbf x,\boldmathbf y \in \ V </math> に対して、<math> \boldmathbf K </math> の元をかえすような演算<math> (\boldmathbf x, \boldmathbf y)</math>が次の'''（Ⅰ）'''～'''（Ⅳ）'''の性質をみたすとき、<math> (\boldmathbf x, \boldmathbf y)</math>を'''内積'''という。

;（Ⅰ）<math>(\boldmathbf x,\boldmathbf y_1 + \boldmathbf y_2) = (\boldmathbf x,\boldmathbf y_1) + (\boldmathbf x,\boldmathbf y_2)</math> :<math>(\boldmathbf x_1 +\boldmathbf x_2, \boldmathbf y) = (\boldmathbf x_1,\boldmathbf y) + (\boldmathbf x_2,\boldmathbf y) </math>

;（Ⅱ）<math>(c\boldmathbf x,\boldmathbf y) = c(\boldmathbf x,\boldmathbf y) ,(\boldmathbf x,c\boldmathbf y) = \bar c(\boldmathbf x,\boldmathbf y) </math> :（<math>\bar c </math>は<math>\ c</math> の複素共役）

;（Ⅲ）<math>(\boldmathbf x,\boldmathbf y) = \overline {(\boldmathbf y,\boldmathbf x)} </math>

;（Ⅳ）<math>(\boldmathbf x, \boldmathbf x) \geq 0 </math> :<math>(\boldmathbf x,\boldmathbf x) = 0 </math> が成り立つのは、<math>\boldmathbf x = \boldmathbf 0 </math> のときに限る。

:<math>|| \boldmathbf x || = \sqrt{(\boldmathbf x ,\boldmathbf x)}</math>

１．<math> \ V = \CComplex^n ,\boldmathbf x,\boldmathbf y \in \CComplex^n</math> のとき、

:<math> (\boldmathbf x,\boldmathbf y) = \sum^{n}_{i=1} x_i\bar y_i </math>

''定理''　<math>\forall \boldmathbf x,\forall \boldmathbf y \in \ V </math> に対して、次の（１）,（２）の不等式が成り立つ。

（１）<math> |(\boldmathbf x,\boldmathbf y)| \leq ||\boldmathbf x|| \cdot ||\boldmathbf y|| </math>（シュワルツの不等式）

等号が成り立つのは、<math>\boldmathbf x = \alpha \boldmathbf y</math>と書ける場合のみ。

（２）<math>|| \boldmathbf x + \boldmathbf y || \leq || \boldmathbf x || + || \boldmathbf y || </math>

等号が成り立つのは、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\boldmathbf y = \beta \boldmathbf x </math> と書ける場合のみ。

（証明）（１）<math>\ a,b \in \boldmathbf K </math>　とすると

:<math> 0 \leq ||a\boldmathbf x + b\boldmathbf y||^2 = (a\boldmathbf x + b\boldmathbf y,a\boldmathbf x + b\boldmathbf y) = |a|^2||\boldmathbf x||^2 + a\bar b(\boldmathbf x,\boldmathbf y) + \bar a b(\boldmathbf y,\boldmathbf x) + |b|^2||\boldmathbf y||^2 </math>

ここで、<math>\ a = ||\boldmathbf y||^2 ,\ b = -(\boldmathbf x,\boldmathbf y)</math> とおけば、

:<math>\begin{align} 0 & \leq ||\boldmathbf y ||^4 ||\boldmathbf x||^2 - ||\boldmathbf y||^2 \overline{(\boldmathbf x,\boldmathbf y)} (\boldmathbf x,\boldmathbf y) - ||\boldmathbf y||^2 (\boldmathbf x,\boldmathbf y)\overline{(\boldmathbf x,\boldmathbf y)} + |(\boldmathbf x,\boldmathbf y)|^2||\boldmathbf y||^2 \\ &= ||\boldmathbf y||^2(||\boldmathbf x||^2||\boldmathbf y||^2- |(\boldmathbf x,\boldmathbf y)|^2)\\ \end{align}</math>

両辺を　<math> ||\boldmathbf y||^2 </math> で割り、正の平方根をとれば、

<math> |(\boldmathbf x,\boldmathbf y)| \leq ||\boldmathbf x|| \cdot ||\boldmathbf y|| </math>　　となる。

等号が成り立つのは、<math> 0 = ||a\boldmathbf x + b\boldmathbf y||^2 </math> すなわち、<math>\boldmathbf 0 = a\boldmathbf x + b\boldmathbf y </math> となるときだから、<math>\boldmathbf x = \alpha \boldmathbf y</math>　と書ける。

（２）<math>\begin{align} ||\boldmathbf x + \boldmathbf y||^2 = (\boldmathbf x + \boldmathbf y,\boldmathbf x + \boldmathbf y) & = ||\boldmathbf x||^2 + (\boldmathbf x, \boldmathbf y) + (\boldmathbf y,\boldmathbf x) + ||\boldmathbf y||^2\\ & \leq ||\boldmathbf x||^2 + 2|(\boldmathbf x, \boldmathbf y)|+ ||\boldmathbf y||^2 \\

& \leq ||\boldmathbf x||^2 + 2||\boldmathbf x|| ||\boldmathbf y|| + ||\boldmathbf y||^2 \\&= (||\boldmathbf x + \boldmathbf y||)^2\\ \end{align}</math>

したがって、正の平方根をとれば　<math>|| \boldmathbf x + \boldmathbf y || \leq || \boldmathbf x || + || \boldmathbf y || </math>　となる。

1つ目の等号は <math> (\boldmathbf x, \boldmathbf y) </math> が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は　<math>\boldmathbf x = \alpha \boldmathbf y</math>　と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\boldmathbf y = \beta \boldmathbf x </math> と書けるときのみ等号が成立する□