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「線型代数学/固有値と固有ベクトル」の版間の差分

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<small>[[線型代数学]] > 固有値と固有ベクトル　</small>
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ある線型変換 <math>\ f</math> に対して、<math>\ f(\boldmathbf v) = \alpha \boldmathbf v </math>　のような元<math>\boldmathbf v </math>が見つかれば、この線型変換は扱いやすくなる。このページでは、このような<math>\ \alpha ,\boldmathbf v</math>（固有値・固有ベクトル）について議論をする。
 
'''注意'''
ここから先の議論はすべて複素数体 <math>\CComplex </math> 上の議論である。
 
 
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'''定義'''
 
<math>\ V : \CComplex </math> 上の線型空間、<math>\ f \in \ End(V) </math> とする。
 
このとき、<math> \boldmathbf v \in \ V (\boldmathbf v \neq \boldmathbf 0), \alpha \in \CComplex </math> が
:<math>\ f(\boldmathbf v) = \alpha \boldmathbf v </math>
の関係をみたすとき、<math>\ \alpha </math> を''固有値'' （eigen value）、<math> \boldmathbf v </math> を''固有ベクトル'' （eigen vector）という。
 
 
では、どのようにして固有値や固有ベクトルを求めたらよいだろうか？
まずは、<math>\CComplex^n </math>の線型変換である行列について考えてみよう。
 
===行列の場合===
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====固有多項式====
'''定義'''
<math>A \in \ M(n,\boldmathbf K)</math>に対して
:<math>\Phi_A(t) = \det(A - tI_n) = \pm (t - \alpha_1)^{\nu_1}(t - \alpha_2)^{\nu_2} \cdots (t - \alpha_r)^{\nu_r}</math>
を<math>\ A</math> の''固有多項式'' （eigen polynomial）という。また、<math>\nu_i (1 \leq i \leq r)</math> を　<math>\alpha_i \in \CComplex </math> の''重複度'' （multiplicity）という。
 
2番目の等式は代数学の基本定理より成り立つ。
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（証明）
 
<math>\ A \in \ M(n;\boldmathbf K) </math> に対して、<math>\ \alpha \in \CComplex </math> が固有値であるとする。このとき、
:<math> \ A\boldmathbf x = \alpha \boldmathbf x </math>
をみたす、<math>\boldmathbf x \neq \boldmathbf 0</math> が存在する。
 
上の式を書き直すと、 <math>(\ A - \alpha I_n)\boldmathbf x = \boldmathbf 0 </math> であるから、<math>(\ A - \alpha I_n)</math> の階数がｎより小さいということと同値である。
 
つまり、<math>\ \det(\ A - \alpha I_n) = 0 </math> でなければならない。
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以上をまとめると、
 
<math>\ \alpha </math> が固有値　<math> \Longleftrightarrow (A - \alpha I_n)\boldmathbf x = \boldmathbf 0 </math> が非自明な解をもつ。 <math> \Longleftrightarrow \ rank(\ A - \alpha I_n) < n \Longleftrightarrow \det(A - \alpha I_n) = 0</math> □
 
 
70 行
====固有空間====
'''定義'''
<math>\ A \in \ M(n;\boldmathbf K) </math> の<math>\alpha \in \CComplex </math> に対する''固有空間'' （eigen space）とは
:<math>E(\alpha) = (\boldmathbf x \in \CComplex^n| (A - \alpha I_n)\boldmathbf x = \boldmathbf 0) = \ker(A - \alpha I_n) </math>
で表わされる部分空間のことである。
 
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この定義から明らかなように、
 
<math>\ \alpha </math> が固有値　<math> \Longleftrightarrow \ E(\alpha) </math> は<math>\boldmathbf 0</math> でない元を持ち、それらはすべて固有ベクトル
 
である。
 
===一般の線型変換の場合===
<math>\ V : \CComplex </math> 上の線型空間、<math><\boldmathbf e_1,\cdots ,\boldmathbf e_n> </math> を<math>\ V </math> の基底、<math>\ f \in End(V) </math> に対して　<math>\ \alpha </math>　は固有値であるとする。
 
また、<math><\boldmathbf e_1,\cdots ,\boldmathbf e_n> </math> に対する　<math>\ f </math>　の表現行列を <math> \ A \in \ M(n;\boldmathbf K) </math> とする。
 
このとき、行列の場合と同様に、
:<math>\ f(\boldmathbf v) = \alpha \boldmathbf v </math>
を充たす<math> \boldmathbf v \neq \boldmathbf 0 </math> が存在する。<math>\ V </math> の恒等変換（identity transformation）を <math>\ I_V </math> とすると、
:<math>\ (f - \alpha I_V) (\boldmathbf v) = \boldmathbf 0 </math>
と変形できる。これは、<math> \ rank(f - \alpha I_V) < n </math>　と同値である。<math> \ (f - \alpha I_V)</math> の表現行列は　<math>\ A - \alpha I_n </math>　であるから、 <math>\ rank (\ A - \alpha I_n) < n </math>
 
以上より、<math>\ f </math> の固有値は<math> \ A </math> の固有多項式の根であることがわかる。
 
また、正則行列<math> \ P \in \ M(n;\boldmathbf K) </math> に対して
:<math>\ \det(A - tI_n) = \det(A - tI_n) \det(P) \det(P^{-1}) = \det(P^{-1}) \det(A - tI_n) \det(P) = \det(P^{-1}AP - tI_n) </math>
より、固有多項式は<math>\ V</math> の基底の取り方によらない。
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'''定義'''
<math>\ f \in \ End(V) </math> の<math>\alpha \in \CComplex </math> に対する''固有空間''とは
:<math>E(\alpha) = (\boldmathbf v \in V| (f - \alpha I_V)\boldmathbf v = \boldmathbf 0) = \ker(f - \alpha I_V) </math>
で表わされる部分空間のことである。
 
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''命題''
 
<math>\alpha_1,\alpha_2,\cdots ,\alpha_r </math> は <math>\ A \in \ M(n;\boldmathbf K) </math> の相異なる固有値とする。このとき、
:<math>\ E(\alpha_1) + E(\alpha_2) + \cdots + E(\alpha_r) = \ E(\alpha_1) \oplus E(\alpha_2) \oplus \cdots \oplus E(\alpha_r) </math>
（証明）
 
<math>\boldmathbf x_i \in \ E(\alpha_i) (1 \leq i \leq r)</math> は　<math> \boldmathbf x_1 + \boldmathbf x_2 + \cdots +\boldmathbf x_r = \boldmathbf 0 </math>　をみたすとする。
 
この等式に、<math>\ f, \ f^2, \cdots ,\ f^{r-1} </math> を作用させると、
:<math>\begin{pmatrix} 1&1& \cdots &1\\ \alpha_1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_r \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \alpha_1^{r-1} & \alpha_2^{r-1} & \cdots & \alpha_r^{r-1}\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\boldmathbf x_1 \\ \boldmathbf x_2 \\ \vdots \\ \boldmathbf x_r \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\boldmathbf 0 \\ \boldmathbf 0 \\ \vdots \\ \boldmathbf 0 \\ \end{pmatrix} </math>
 
左辺の行列の行列式はVanDermondの行列式なので、
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したがって、この行列は正則。
 
よって、<math>\boldmathbf x_1 = \boldmathbf x_2 = \cdots = \boldmathbf x_r = \boldmathbf 0 </math> □
 
[[Category:線形代数学|こゆうちとこゆうへくとる]]
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