「線型代数学/行列と行列式/第三類/直線・平面」の版間の差分

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次に <math>\pi</math> に垂直なベクトル(法線ベクトルという)を用いて,関係式を求めている.
 
<math>\pi</math> に垂直なベクトル <math>\vec{h}</math> は <math>\vec{u}, \vec{v}</math> のそれぞれに垂直だから,<math>\vec{h}</math> は <math>\vec{u} \times \vec{v}</math> に平行である<ref>
[[線型代数学/行列と行列式/第三類/外積#th:005|定理5 ]](1) <math>\vec {a} \times \vec {b}</math> は, <math>\vec {a}</math>,<math>\vec {b}</math> の両方と直交する.
</ref>.
<math>\vec{h}</math> は <math>\vec{u} \times \vec{v}</math> に平行である.だから,
 
とおくことができる.
 
<math>\vec{\mathrm{OP}} = \vec{x}, \vec{\mathrm{OA}} = \vec{a}</math> とする.すると,
 
:<math>\mathrm{P}</math> が <math>\pi</math> 上にある
 
:<math>\iff \vec{\mathrm{AP}} \bot \vec{h}</math>
:<math>\iff (\vec{x} - \vec{a})\cdot \vec{h} = 0</math>
 
<math>\mathrm{P}</math> の座標を <math>(x, y, z)</math> とすれば,
<math>\vec{x} =
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y\\
z
\end{array}
\right)
, \vec{a} =
\left(
\begin{array}{c}
0\\
2\\
1
\end{array}
\right)
</math>,
 
<math>
\left(
\begin{array}{c}
x - 0\\
y - 2\\
z - 1
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
-5\\
-1\\
3
\end{array}
\right)
= -5x -(y - 2) + 3(z - 1) = 0</math>
 
<math>\therefore 5x + y -3z = -1</math>
 
これが平面 <math>\pi</math> の方程式である.平面の方程式の係数 <math>(5, 1, -3)</math> を並べると平面の法線ベクトルになっている.
 
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一般の形でまとめておく.
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