「測度論的確率論/準備/集合/写像」の版間の差分

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<math>A \subset C</math> かつ <math>B \subset C</math> ならば <math>A \cup B \subset C</math>.
</ref>.…②<br />
①②より <math>f(A \cup B) = f(A) \cup f(B)</math> かつ <math>f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)</math>.
 
さらに <math>A \cap B \subset A, A \cap B \subset B</math> であるから <math>f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)</math><ref>
<math>C \subset A</math> かつ <math>C \subset B</math> ならば <math>C \subset A \cap B</math> であり,これを適用するすなわち,ゆえに
<math>A \cap B \subset A</math> かつ <math>A \cap B \subset B</math>,ゆえに従って <math>f(A \cap B) \subset f(A)</math> かつ <math>f(A \cap B) \subset f(B)</math>.
よって <math>f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)</math> が誘導される.<!-- 2019/3/30 ここまで -->
</ref><ref>
一方「<math>f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B)</math>」とはいえない.例えば <math>f</math> が単射でなく、<math>x_1 \in A</math> で <math>y = f(x_1)</math> かつ同じ <math>y</math> で <math>x_2 \in B, x_2 \not\in A, y = f(x_2)</math>
一つの <math>x \in M</math> に対して <math>y = f(x)</math> は必ず一つの値に定まるが、逆に一つの <math>y</math> を決めるとその <math>y</math> に対して <math>y = f(x)</math> を満たす <math>x</math> が複数存在する可能性があるという、そもそもの写像の定義に、この式が等号ではないことの理由の本質があり、これは[[測度論的確率論/準備/集合/写像#定理5|定理5]]も同様である.実際 [[測度論的確率論/準備/集合/写像#演習2|演習2]]の <math>f</math> にて <math>A = \left[ -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0 \right), B = \left[ 0, +\frac{1}{\sqrt{2}} \right]</math> のとき、<math>f(A) \cap f(B) = \left[ 0, \frac{1}{2} \right], A \cap B = \emptyset, f(A) \cap f(B) \not\subset f(A \cap B)</math>.
</ref>.
(証明終)<!-- 2019/3/31 ここまで -->
<!-- theorem:006:endt-->
 
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