「制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化」の版間の差分

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また式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.14a|(1.14a)]] については,
<math>p\int_0^{\infty} t^n e^{-pt}dt = \frac{n}{p}\cdot p\int_0^{\infty} t^{n - 1}e^{-pt}dt</math> および <math>p\int_0^{\infty} t^0 e^{-pt}dt = 1</math> より
<math>t^n \mapsto \frac{n!}{p^n}</math>.<br />
式[[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.16|(1.16)]],[[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の完成#eq:1.17|(1.17)]]については,<br/>
 
<math>I_1 = p\int_0^{\infty}\sin\omega t\ e^{-pt}dt,\quad I_2 = p\int_0^{\infty}\cos\omega t\ e^{-pt}dt</math> と置くとき,<br />
<math>I_1 = \omega\int_0^{\infty}\cos\omega t\ e^{-pt}dt</math>…①,
<math>I_2 = 1 - \omega\int_0^{\infty}\sin\omega t\ e^{-pt}dt</math>…②<br />
①②より <math>I_1 = \frac{\omega}{p}\left(1 - \frac{\omega}{p}\right)</math>.<br />
すなわち <math>\sin\omega t \mapsto I_1 = \frac{\omega p}{p^2 + \omega^2}</math><br />
また <math>\cos\omega t \mapsto I_2 = 1 - \frac{\omega}{p}I_1 = \frac{p^2}{p^2 + \omega^2}</math><br />
</ref>.
つまり,変換式 [[制御と振動の数学/第一類/演算子法の誕生/演算子法の合理化#eq:1.19|(1.19)]] によって <math>t</math> の関数を <math>p</math> の関数に変換すれば,