「高等学校数学I/図形と計量」の版間の差分
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M 図を追加しました。 |
180度までの角への拡張を追加しました。 |
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80 行
:[[画像:Sinの定義.png]][[画像:Cosの定義.png]][[画像:Tanの定義.png]]
<!-- 場当たり的な対応 -->
この定義から、<math>\sin </math>,<math>\cos </math>, <math>\tan </math>について次の性質が成り立つ。
:<math>
\sin (90^\circ -x ) = \cos x, \cos (90^\circ -x ) = \sin x, \tan (90^\circ -x ) = \frac 1 {\tan x}
</math>
*証明
90<math>{}^\circ</math> -x は、xという大きさの角を持った直角三角形があるとき、直角でもxでもない大きさの角である。(三角形の内角の和が180<math>{}^\circ</math>であるため。)このため、90<math>{}^\circ</math> -xに対する三角比は、xに対する三角比を定義するのに使った三角形を用いて表わすことが出来る。実際にこの定義を導入すると、確かにこの結果が成り立つ。
ここまでで、0<math>{}^\circ</math><r<90<math>{}^\circ</math>の条件を満たす角度rに対して、正弦、余弦、正接を定義した。しかし、これ以降三角形に関する定理を扱う上では、90<math>{}^\circ</math><r<180<math>{}^\circ</math>までの範囲で正弦、余弦、正接を定義しておくと都合がよい。ここでは、三角比の定義の範囲を拡張する方法を説明する。
<!-- まだ座標幾何をやっていないから、単位円を使う定義は導入できないのではなかろうか ... .。-->
まず、半径1で原点を中心とした円を描く。ここで、円上の1点(ただし、第1、第2象限に属するものとする。)をA(a,b)とし、Aからx軸に向かって垂直に下ろした点をBとする。この時三角形OABは、∠OBAを直角とする直角三角形である。更に、∠BOAをxとおく。ここで、<math>\sin</math> ,<math>\cos </math>, <math>\tan</math> の定義を、
:<math>
\sin x = b, \cos x = a, \tan x = b/a
</math>
とする。第1象限のAを用いるときにはa>0,b>0であり、以前の直角三角形を用いた正弦などの定義とここで用いた定義は一致する。(実際、三角形OABを用いて以前の定義を計算すると
:<math>
\sin x = b, \cos x = a, \tan x = b/a
</math>
が得られるはずである。)次に、第2象限では、a<0,b>0が成り立つのでこれは直角三角形を用いた定義では対応するものが存在しない。そのため、この定義は直角三角形を用いた定義の拡張になっている。
*注意
実際には、この定義は任意の角0<math>{}^\circ</math><r<360<math>{}^\circ</math>に対して適用できる。しかし、このことは[[高等学校数学II]]の範囲である。
図形的な性質を用いると、90<math>{}^\circ</math><r<180<math>{}^\circ</math>の三角比について次の性質が成り立つ。
:<math>
\sin (90 ^\circ + x) = \cos x, \cos (90^\circ + x ) = - \sin x, \tan (90^\circ + x )=-\frac 1 {\tan x}
</math>
,
:<math>
\sin (180 ^\circ - x) = \sin x, \cos (180^\circ - x ) = - \cos x,\tan (180 ^\circ - x)=-\tan x
</math>
*証明
90 <math>{}^\circ</math> + xという角は、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。
*図
この時、図から90 <math>{}^\circ</math> + xに対応する正弦は、xに対する余弦の大きさに等しい。90 <math>{}^\circ</math> + xに対応する余弦は、xに対する正弦の大きさに等しく、符合が負になっている。
180 <math>{}^\circ</math> + xという角も、xという角を持った直角三角形を用いて表わすことが出来る。
*図
この時、対応する正弦が等しく、余弦が大きさが等しく符合が負になっていることがわかる。正接の関係式は、
:<math>
\tan x = \frac {\sin x}{ \cos x}
</math>
を用いれば、前の2式から得ることが出来る。この式については後述する。
====三角比の相互関係====
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