「圏論/代数系/代数系」の版間の差分

削除された内容 追加された内容
編集の要約なし
編集の要約なし
 
82 行
特に <math>B</math> も <math>A</math> と同種の代数系,<math>f: A \to B</math> が準同型のとき,<math>f</math> の右標準全単分解 <math>(p, q)</math> の <math>p</math> と <math>q</math> は共に準同型で,さらに <math>f</math> が全射的ならば <math>q</math> は同型写像である.
 
この定理で得られる代数系 <math>(\mathfrak{U}, \Omega)</math> を <math>A</math> の <math>\cong</math> による商代数系といい,<math>A/\!\cong</math> で表す.
 
<strong>定理</strong><math>\quad</math>
種の型 <math>\Omega</math> の代数系 <math>A</math> の上に二つの合同関係 <math>\sim, \cong</math> があり,<math>f:A \to A/\!\sim, g:A \to A/\!\cong</math> はその標準射影とする.
もし <math>\cong</math> が <math>\sim</math> より強ければただ一つの準同型 <math>h:\ A/\!\sim \,\, \to A/\!\cong</math> が定まり,<math>g = h \circ f</math> となる.
 
<strong>証明</strong><math>\quad</math>
<math>\sim</math> の各合同類 <math>X</math> は <math>\cong</math> の一つの合同類に含まれる[[圏論/代数系/関係, 同値関係#2.5|(2.5参照)]].
これを <math>h(X)</math> とすればこの <math>h</math> が <math>g = h \circ f</math> をみたすただ一つの写像である.
これが準同型であることは <math>A/\sim, A/\cong</math> 上の演算 <math>\bot \in \Omega</math> の定義から見やすい.(証明終)
 
 
 
<div id="5.5">
<strong>5.5</strong>
<strong>定理</strong><math>\quad</math>
<math>\tau</math> は種の型 <math>\Omega</math> の代数系 <math>A</math> 上に定められた任意の二元関係とする.
このとき <math>A</math> の上の <math>\tau</math> より強い合同関係の中に最も弱いものが存在する.
 
<strong>証明</strong><math>\quad</math>
<math>\Xi</math> は