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== 平行線と角 ==
=== 公式・性質など ===
*n角形の内角の和は180° ×(n-2)
*多角形の外角の和は360°
*対頂角は等しい
*平行な2直線に1つの直線が交わるとき、次の1,2が成り立つ。
#2直線が平行なら同位角は等しい。
#2直線が平行なら錯角は等しい。
*2直線に1つの直線が交わるとき、次のどちらかが成り立てば、その2直線は平行である。
#同位角が等しければ、その2直線は平行である。
#錯角が等しければ、その2直線は平行である。
*三角形の内角の和は180°である
*三角形の外角は次に述べる和に等しく、その外角とは隣あわない残りの2つの内角の和に等しい。
ここまでで平行線の性質について学んだ。ここでは、その性質を用いて三角形の内角の和の性質を考察する。
三角形の内角とは三角形の各々の辺が他の辺と作る角のことである。
ここで、三角形の3つの内角の和について次の性質が成り立つ。
* 三角形の内角の和は常に180<math>{}^\circ</math>である。
* 導出
* 図
[[File:平行と合同1.svg|right]]
三角形ABCを取り点Aを通り辺BCに平行な直線を描く。このとき、ここで描いた直線上で
点AよりもB側にある点をDと呼ぶとして、C側にある点をEと呼ぶとする。
すると、平行線の錯角が等しいことから
:<math>
\angle B = \angle BAD
</math>
:<math>
\angle C = \angle CAE
</math>
が成り立つ。ここで、
:<math>
\angle BAD + \angle BAC + \angle CAE = 180^\circ
</math>
が成り立つが、この量は三角形の内角の和に等しい。
三角形の内角の和の性質を用いて、一般の多角形の内角の和も求めることができる。
ある3より大きい整数nについて、
* n角形の内角の和は
:<math>
(n-2) \times 180^\circ
</math>
で表わされる。
実はこのことは三角形についても成り立つ。
* 導出
多角形のある頂点を取る。ここで、この頂点からその頂点の隣り以外の頂点へと線分を引く。
このとき、与えられた多角形は(n-2)個の三角形で表わされるが、この図形の内角の和は三角形の内角の和の性質より
:<math>
(n-2) \times 180^\circ
</math>
である。
次に、多角形の外角の性質について述べる。
多角形の外角とは、ある頂点とその点を通る多角形の辺を取り、その辺を頂点を通りすぎて延ばした直線と、元の頂点を通るもう片方の辺とが成す角である。
* 図
ここで、任意の多角形の外角の和について次の結果が成り立つ。
*多角形の外角の和は 360<math>{}^\circ</math>に等しい。
例えば、直方体の外角は全て90<math>{}^\circ</math>であるので、その和は
360<math>{}^\circ</math>となる。
* 導出
ある3以上の整数nについて、
n角形の内角と外角両方の和を取ると、これは
:<math>
n \times 180^\circ
</math>
に等しい。ここで、多角形の内角だけの和を取ると
:<math>
(n-2) \times 180^\circ
</math>
であることが知られているので、外角だけの和はそれらの差を取って
:<math>
360^\circ
</math>
となる。
また、特に三角形の外角は簡単な性質を持つ。つまり、
:三角形のある外角は、その外角に対応しない三角形の2つの内角の和に等しい
が成立する。
* 導出
三角形ABCを取り、辺ABをAの側からBを越えてのばした点にDを取る。
求める外角の大きさを
:<math>
\angle CBD
</math>
で表わす。このとき、この角について
:<math>
\angle CBD
= 180 ^ \circ -
\angle CBA
</math>
が得られるが、三角形ABCの内角の和が<math>180 ^ \circ </math>で与えられることから、
:<math>
\angle CBA =
180 ^ \circ - \angle CAB - \angle BCA
</math>
となり、このことを用いると、
:<math>
\angle CBD = \angle CAB + \angle BCA
</math>
となることが分かる。
このことは、三角形ABCのある内角に対応する外角はそれ以外の内角の大きさの和に等しいことに対応する。
== 合同 ==
[[File:Congtri.png|thumb|300px|図のような三角形ABCと三角形DEFは合同である。]]
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