「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分

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「恒等式」という言葉の実用的な使い方については、たとえば、次のように使う。
方程式と恒等式の意味の違いを理解するために、次の等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての「恒等式」の場合について考えてみよう。
 
「式 <math>ax^2+bx+c=3x^2+1x+5</math> が <math>x</math> についての恒等式であるなら、a=3 , b=1 , c=5 である。」
 
上の例では、説明を単純化するために係数の対応が一目瞭然の形のものを紹介したが、しかし実際に恒等式の発想を数学で使う場合には、事前には 上式のような形には整理されておらず、なので計算者が自身で式変形して整理していく必要がある。
 
 
では、この「恒等式」の言葉の使い方を理解するために、次の問題を考えよう。
 
方程式と恒等式の意味の違いを理解するために、次の等式 <math>ax^2+bx+c=0</math> が <math>x</math> についての「恒等式である場合について考えてみよう。
 
ある式が「 <math>x</math> についての恒等式である」とは、この式の<math>x</math> にどのような値を代入しても、この等式は成り立つという意味である。
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|style="padding:5px"|
<math>P\ ,\ Q</math> を <math>x</math> についての多項式または単項式とする。
*::<math>P=0</math> が恒等式  <math>\Leftrightarrow </math> <math>P</math>  の各項の係数はすべて<math>0</math>である。
*::<math>P=Q</math> が恒等式  <math>\Leftrightarrow </math> <math>P</math>  と <math>Q</math> の次数は等しく、両辺の同じ次数の項の係数は、それぞれ等しい。
|}
 
 
* 問題例
 
** 問題
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:<math>x^2-3=a(x-1)^2+b(x-1)+c</math>
 
** 解答
等式の右辺を <math>x</math> について整理すると
:<math>a(x-1)^2+b(x-1)+c=ax^2-2ax+a+bx-b+c=ax^2+(-2a+b)x+(a-b+c)</math>