「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分
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===== 不等式の証明 =====
不等式 <math> A \ge B </math> を証明したい場合には、移項して
: <math> A-B \ge 0 </math>
を証明することに置きかえると、証明しやすくなる場合がよくある。
** 問題
次の不等式が成り立つことを証明せよ。<br>
:<math>
x^2 + 10 y^2 \ge 6 x y
444 ⟶ 448行目:
(解法)<br>
移項して、
:<math>
(x^2 + 10 y^2) -(6 x y) \ge 0
</math>
を証明する問題に置きかえる。
では、この置きかえ後の問題を証明しよう。
左辺を展開して まとめると、
:<math>
(x^2 + 10 y^2) - 6xy = x^2 - 6 x y + 9 y^2 + y^2 = (x - 3 y)^2 + y^2
</math>
となる。
上式の最後の式の項について、
:<math>
(x - 3 y)^2 \ge 0 , \quad y^2 \ge 0
</math>
だから
455 ⟶ 471行目:
(x - 3 y)^2 + y^2 \ge 0
</math>
なので（0以上の数に、別の0以上の数を足したら、当然、結果は0以上であると言う条件をみたすので）、
よって、
:<math>
x^2 + 10 y^2 \ge 6 x y
</math>
である。（証明 おわり）
=====相加平均と相乗平均=====
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