「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分

 

===== 不等式の証明 =====

を証明することに置きかえると、証明しやすくなる場合がよくある。

 

上式の最後の式の項について、

:<math>

</math>

だから

である。（証明 おわり）

 

2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''相加平均'''（そうかへいきん）と言い、<math>\sqrt{ab}</math>を'''相乗平均'''（そうじょうへいきん）という。

 

:<math>

\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2}

</math>

等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math><br>

すなわち<math>a = b</math>のときである。

|-

|style="padding:5px"|

等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。

|}

 

 

 

 

(I)

:<math>

</math>

(II)

:<math>

</math>

 

 

(I)<math>a>0</math>であるから、<math>\frac{1}{a} >0</math><br>

したがって

:<math>

</math>

 

</math>

<math>a>0</math>，<math>b>0</math>であるから、<math>\frac{b}{a} >0</math>，<math>\frac{a}{b} >0</math><br>

したがって

:<math>

</math>

 

相加平均相乗平均を用いた問題は[[高等学校数学II]]などで扱う微分法を用いて解くことができる問題が多い。例えば(I)について

:<math>

</math>

の左辺をf(a)と置き、f(a)の1,2階微分を求めると、<math>f'(a) = 1 - \frac{1}{a^2}</math>,<math>f''(a) = \frac{2}{a^3}</math>が得られるが、このことからf(a)は<math>a>0</math>では、a=1で極小値を持つことがわかる。ここで、実際に代入を行うことで、f(1)=2が得られるので、元の結果が得られる。

*問題例

** 問題

 

:(I) <math>-i,30i \,\!</math>の平方根を求めよ。

 

 

:(I)

::<math>\pm\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}i\right) , \pm\left(\sqrt{15}+\sqrt{15}i\right)</math>

}}

 

複素数の応用として、ここでは2次方程式の性質について述べる。任意の2次方程式は、解の公式によって解かれることを[[高等学校数学I 方程式と不等式#二次方程式|高等学校数学I]]で述べた。しかし、解の公式に含まれる根号の中身が負の数の場合には解が存在しないことに注意する必要がある。2次方程式

:<math>

 

 

 

 

複素数を用いて、2次方程式<br>

:<math>2x ^2 - 2x + 8 =0</math>

を解け。

解の公式を用いて解けばよい。(1)だけを計算すると、

:<math>

-->

 

 

 

 

2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の解は <math>x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} </math> である。

 

 

 

 

次の2次方程式の解を判別せよ。

 

 

 

(I)

だから、重解をもつ。

 

2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> として、<math>D = b^2-4ac</math> とおくと、<br>

<math>\alpha + \beta = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = - \frac{b}{a}</math><br>

 

 

 

 

2次方程式 <math>2x^2 + 4x + 3 = 0</math> の2つの解を <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> とするとき、<math>\alpha ^2 + \beta ^2</math> の値を求めよ。

 

 

解と係数の関係より、

<math>\alpha ^2 + \beta ^2 = (\alpha + \beta )^2 - 2 \alpha \beta = (-2)^2 - 2 \times \frac{3}{2} = 1</math>

 

2つの数 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> を解とする2次方程式は

:<math>

 

 

 

 

次の2数を解とする2次方程式を作れ。

 

 

 

(I)<br>

 

 

2次方程式 <math>ax^2 + bx + c = 0</math> の2つの解 <math>\alpha</math> ，<math>\beta</math> がわかると、2次式

:<math>ax^2 + bx + c

 

 

 

 

複素数の範囲で考えて、次の2次式を因数分解せよ。

</math>

 

 

3次以上の整式による方程式を考える。

ただし、<math>P(x)</math>は、任意の次数の整式とする。

 

<math>P(x)</math>を1次式<math>x-a</math>で割ったときの商を<math>Q(x)</math>、余りを<math>R</math>とすると、

:<math>

|}

 

 

 

整式 <math>P(x) = x^3 -2x + 3</math> を次の式で割った余りを求めよ。<br>

</math>

 

 

(I)　<math>P(2) = 2^3 - 2 \times 2 + 3 = 7</math><br>

 

 

ある実数<math>a</math>に対して、

:<math>

このことを因数定理（いんすうていり）と呼ぶ。

 

整式<math>P(x)</math>に対して、商<math>Q(x)</math>、割る式<math>(x-a)</math>とする

整式の除法を用いる。このとき、商<math>Q(x)</math>、

 

 

 

 

因数定理を用いて<br>

-->

を因数分解せよ。

 

(I)

となる。

 

因数分解や因数定理を利用して高次方程式を解いてみよう。

 

 

 

 

高次方程式<br>

</math>

 

:<math>

X^2-2X-8=0

</math>

 

:<math>

P(2)=2^3-5 \times 2^2+7 \times 2-2=0