「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分

本項は[[高等学校数学II]]の式と証明・高次方程式の解説である。

 

 

 

ここでは、整式の除法と分数式について扱う。整式の除法は、整式を整数のように扱い除法を行なう計算手法のことである。実際に整数の除法と整式の除法には深いつながりがある。整式の因数分解を考えるとそれ以上因数分解できない整式が存在する。この整式を整数でいう素因数のように扱うことで整式の素因数分解が可能になる。この対応は後に詳しく調べられるが、これは指導要領の範囲外である。[[数学]]、[[w:素因数分解]]などを参照。

 

 

 

分数を用いないときには、整数の除法は商と余りを用いて定義された。この時、割られる数Bは商Dと割る数A、余りRを用いて

:<math>

問題が多いので、とりあえずコメントアウト。

-->

 

この計算はアニメーションを使って

-->

 

ここまでで整式を整数のように扱い、整式の除法を行なう方法について述べた。ここでは、整式に対して分数式を定義する方法について述べる。分数式とは、整数に対する分数のように、除法によって生じる式である。ここで、除法を行なう式はどのようなものでも差し支えない。分数式では、分子に割られる式を書き、分母に割る式を書く。例えば、

:<math>

は、分子x+1、分母<math>x^2+4</math>の分数式である。分数式に対しても約分や通分が存在する。約分は共通因数を持った分子分母をもつ分数式で用いられる。この時には分子分母を共通因数で割り、式を簡単にすることが出来る。通分は、分数式の加法の時によく用いられるが、分子分母に同じ整式をかけても分数式が変化しない性質を用いる。

 

** 問題

:<math>

を計算せよ。

 

 

:<math>

<!--

(

計算には[[w:maxima]]を用いた。

分数式の乗法は、分子分母を別々にかければよい。

 

** 問題

次の計算をせよ。

 

 

(I)

:<math>

まず、単純に両辺の平方根を考えると、<math>z = \pm \sqrt{i}</math>となる。ところが、ここから<math>\sqrt{i}</math>の値を考えるのは極めて難しい。

今度は両辺を2乗してみても、<math>z^2 = i \Rightarrow z^4 = -1 \Leftrightarrow z^4 + 1 = 0 \Leftrightarrow (z^2 + i)(z^2 - i) = 0</math>となり、解決しそうにはならない。

 

では、どの複素数もこのzとなり得ないのだろうか。