「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分
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高校数学では、次の4つの性質が 不等式の「基本性質」などとして紹介されている。
{| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0
|style="background:skyblue"|'''不等式の基本性質'''
|-
|style="padding:5px"|
:(1) <math> a>b </math> かつ <math> b>c </math> ならば <math> a>c </math>
:(2) <math> a>b </math> ならば <math> a+c>b+c </math> ならば <math> a-c>b-c </math>
446 ⟶ 451行目:
:(4) <math> a>b </math> かつ <math> c<0 </math> ならば <math> ac<bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math>でもある
|}
451 ⟶ 458行目:
数学IAで習った「ならば」の意味の記号 <math>\Longrightarrow </math> を使うと、
{| style="border:2px solid skyblue;width:80%" cellspacing=0
|style="background:skyblue"|'''不等式の基本性質'''
|-
|style="padding:5px"|
:(1) <math> a>b </math> かつ <math> b>c </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> a>c </math>
:(2) <math> a>b </math> ならば <math> a+c>b+c </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> a-c>b-c </math>
456 ⟶ 467行目:
:(4) <math> a>b </math> かつ <math> c<0 </math> <math>\Longrightarrow</math> <math> ac<bc </math> であり、<math> \frac{a}{c} < \frac{b}{c} </math>でもある
|}
とも書ける。
575 ⟶ 589行目:
この式で等号が成り立つ場合とは、 <math>a = 0</math> の場合だけである。
|}
じつは、この公式（「実数を2乗すると、かならずゼロ以上である」）も基本性質(3),(4)を使って証明できる。
証明のさい、証明したい式の文字と、基本性質の文字が同じでまぎらわしいので、基本性質の文字を x, y , z を用いたものに変形する。
:(3)<nowiki>'</nowiki> <math> x > y </math> かつ <math> z > 0 </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> xz > yz </math> であり、<math> \frac{x}{z} > \frac{y}{z} </math>でもある
:(4)<nowiki>'</nowiki> <math> x>y </math> かつ <math> z<0 </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> xz<yz </math> であり、<math> \frac{x}{z} < \frac{y}{z} </math>でもある
すべての実数 a について
: <math> a^2 \geqq 0 </math>
が成り立つ。
'''（証明）'''
aが正の場合と負の場合と0の場合の3通りに場合わけする。
'''<nowiki>[aが正の場合]</nowiki>''' <br>
まず、aが正の場合について考える。
仮定より a＞0 である。
基本性質(3)に x=a, y=0 ,Z＝aを代入し、
:(3)<nowiki>''</nowiki> <math> a>0 </math> かつ <math> a>0 </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> aa>0a </math> であり、<math> \frac{a}{a} > \frac{0}{a} </math>でもある
が成り立つ。
整理して
:(3)<nowiki>'''</nowiki> <math> a>0 </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> a^2 > 0 </math> であり、<math> 1 > 0 </math>でもある
が成り立つ。
<nowiki>[aが負の場合]</nowiki>
aがゼロ以外の負の場合、まず仮定より a＜0 である。
aが負の場合は、基本性質(4)または(4)<nowiki>'</nowiki>を使って証明する。
x=0, y=a ,Z＝aを代入すると、
:(4)<nowiki>''</nowiki> <math> 0>a </math> かつ <math> a<0 </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> 0a < aa </math> であり、<math> \frac{0}{a} < \frac{a}{a} </math>でもある
となり、整理すると
:(4)<nowiki>'''</nowiki> <math> 0>a </math> <math>\Longrightarrow </math> <math> 0 < a^2 </math> であり、<math> 0 < 1 </math>でもある
となる。
よって、aが負の場合も、
: <math> a^2 > 0 </math>
である。
'''<nowiki>[aがゼロの場合]</nowiki>''' <br>
aが0の場合、これを2乗してもゼロであるので、 <math> a^2 \geqq 0 </math> を満たしている。
'''<nowiki>[すべての場合の結論]</nowiki>''' <br>
よって、aが正または負またはゼロの、すべての場合わけの場合について、 <math> a^2 \geqq 0 </math> が証明できた。(証明 おわり)
===== 相加平均と相乗平均 =====
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