「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分
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2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''相加平均'''（そうかへいきん）と言い、<math>\sqrt{ab}</math>を'''相乗平均'''（そうじょうへいきん）という。
相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。
<math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき▼
:<math>▼
\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2}▼
</math>▼
<math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br>▼
したがって <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br>▼
等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math><br>▼
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等号が成り立つのは、<math>a = b</math>のときである。
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（証明）
▲<math>a \geqq 0 , b \geqq 0</math>のとき
▲:<math>
▲\frac{a+b}{2} - \sqrt{ab} = \frac{a+b-2 \sqrt{ab}}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} \right) ^2 - 2 \sqrt{a} \sqrt{b} + \left( \sqrt{b} \right) ^2}{2} = \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2}
▲</math>
▲<math> \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 \geqq 0</math>であるから、<math> \frac{\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 }{2} \geqq 0</math><br>
▲したがって <math>\frac{a+b}{2} \geqq \sqrt{ab}</math><br>
▲等号が成り立つのは、<math>\left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right) ^2 = 0 </math> のとき、すなわち <
* 問題例
** 問題
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