「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分

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が成り立つ。
 
 
(例題)
 
 
次の不等式を証明せよ。また、等号が成り立つのは どのような場合かを 調べよ。
::|a|+|b| ≧ |a+b|
 
 
:(証明)
両辺の平方の差を考えると、
:: (|a|+|b|)<sup>2</sup> ー |a+b|<sup>2</sup> = |a|<sup>2</sup> + 2|a| |b| + |b|<sup>2</sup> ー(a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup> )
:::::::: = a<sup>2</sup> + 2|a| |b| + b<sup>2</sup> ーa<sup>2</sup> ー 2ab ー b<sup>2</sup>
:::::::: = 2|a| |b| ー 2ab
:::::::: = 2 ( |a| |b| ー ab )
 
これがもし正なら、与えられた不等式 |a|+|b| ≧ |a+b| が正しい。
 
 
ここで、 |a| |b| ≧ ab であるので、
:: ( |a| |b| ー ab ) ≧ 0
である。
 
したがって、 |a|+|b| ≧ |a+b| である。
 
 
等号が成り立つのは |a| |b| = ab の場合、すなわち ab ≧ 0 の場合である。(証明 おわり)
 
===== 相加平均と相乗平均 =====