「高等学校数学II/式と証明・高次方程式」の版間の差分

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===== 相加平均と相乗平均 =====
2つの数<math>a</math>,<math>b</math>に対し、<math>\frac{a+b}{2}</math>を'''相加平均'''(そうかへいきん)と言い、<math>\sqrt{ab}</math>を'''相乗平均'''(そうじょうへいきん)という。
 
{{コラム|相乗平均の例と3つ以上のものの平均|
 
平均は、3つ以上のものにも定義される。3つ以上のn個のものの相加平均は <math>\frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n}</math> で定義される。
 
 
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::(3つの項の相乗平均)=<math> (abc)^{ \frac{1}{3} } </math>
:になる。
 
}}
 
本ページでは、2個の数の平均について考察する。
 
 
相加平均と相乗平均について、次の関係式が成り立つ。
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(II)についてはa,bの2つの変数があるため、高等学校の範囲では微分を用いて極小値を求めることはできないが、[[解析学基礎]]などの結果を用いることで極小値を得ることができる。
 
{{コラム|3つ以上の相乗平均と調和平均|
もし読者が指数関数などを知っていれば、
 
n個のものの相乗平均は、
::<math>\sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n }</math>
と書ける。
 
 
数学的な「平均」には、相加平均と相乗平均のほかにも調和平均がある。
 
調和平均は、電気回路の並列計算で使われる考え方である。
 
n個のものの調和平均は、
::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} }</math>
で定義される。
 
 
一般に数学的には、調和平均、相乗平均、相加平均のあいだに次のような大小関係
:(調和平均) ≦ (相乗平均) ≦ (相加平均)
という関係が成り立つことが証明されている。
 
すなわち、数式で書けば
::<math>\frac{ n}{ \dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_n} } \leqq \sqrt[n] {a_1 a_2 \cdots a_n } \leqq \frac{a_1 + a_2 + \cdots +a_n }{n} </math>
の関係式である。
}}
 
===高次方程式===