「高等学校数学A/場合の数と確率」の版間の差分

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(→‎二項定理: パスカルの三角形)
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:<math>{} _4 C _2 \times {} _4 C _2 = 6 \times 6 = 36 </math>
となり、36通りであることが分かる。
 
==== 二項定理 ====
上で紹介した組み合わせの計算を多項式の展開に応用することが出来る。
:<math>(a+b)^n</math>
を展開することを考える。これは、
:<math>(a+b)(a+b)(a+b)\cdots (a+b)</math>
という式を展開したものであり、その係数は
"n個の(a+b)の中からいくつのa(またはb)を選ぶか"で決めることが出来る。
(かけ算なのでaかbのどちらかを必ず選ばなくてはならないことに注意。)
しかし、この仕方の数は、aについてr次の項では<math> {}_nC_r </math>に等しい。
よって、次の式が得られる。
:<math>(a+b)^n = \sum _{r = 0}^n {}_nC_r a^r b^{n-r}</math>
:<math> = \sum _{r = 0}^n {}_nC_r b^r a^{n-r}</math>
ここで、
:<math>\sum _{r= 0 } ^n</math>
は、整数rを0から0以上の整数nまで変化させながらその結果のそれぞれを足し合わせるという意味である。この記号は'''シグマ'''と読まれる。
 
この式を '''2項定理'''(にこうていり、英:binomial theorem) という。また、それぞれの項にかかる係数を 2項係数(にこうけいすう、英:binomial coefficient) と呼ぶことがある。
これによって、大きい次数の多項式を展開する方法が分かったことになる。
 
[[File:Pascal's triangle 5.svg|thumb|パスカルの三角形の最初の6段]]
また、それぞれの2項係数は[[w:パスカルの三角形]](英:Pascal's triangle)と呼ばれる方法でも計算することができる。
次数の低いものをあげておくと、
:<math>(1+x)^3 = x^3+3\,x^2+3\,x+1</math>
:<math>(1+x)^4 =x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math>
:<math>(1+x)^5 =x^5+5\,x^4+10\,x^3+10\,x^2+5\,x+1</math>
:<math>(1+x)^6 =x^6+6\,x^5+15\,x^4+20\,x^3+15\,x^2+6\,x+1</math>
:<math>(1+x)^7 =x^7+7\,x^6+21\,x^5+35\,x^4+35\,x^3+21\,x^2+7\,x+1</math>
が得られる。
 
* 問題例
 
** 問題
 
(I)
:<math>(x+1) ^4</math>
 
(II)
:<math>(a + 3) ^ 5</math>
 
(II)
:<math>(a + b) ^ 5</math>
 
(II)
:<math>(x + 6) ^ 6</math>
をそれぞれ計算せよ。
 
**解答
2項定理を用いて計算すればよい。実際に計算を行なうと、
 
(I)
:<math>x^4+4\,x^3+6\,x^2+4\,x+1</math>
(II)
:<math>a^5+15\,a^4+90\,a^3+270\,a^2+405\,a+243</math>
 
(III)
:<math>b^5+5\,a\,b^4+10\,a^2\,b^3+10\,a^3\,b^2+5\,a^4\,b+a^5</math>
(VI)
:<math>x^6+36\,x^5+540\,x^4+4320\,x^3+19440\,x^2+46656\,x+46656</math>
となる。
 
** 問題
 
2項定理
:<math>(a+b)^n = \sum _{r = 0}^n {} _nC _r a^r b^{n-r}</math>
を用いてある整数nに対して
 
(I)
:<math>2^n = \sum _{k=0} ^n nC _k </math>
 
(II)
:<math>3^n = \sum _{k=0} ^n 2^k nC _k </math>
 
(III)
:<math>0 = \sum _{k=0} ^n (-1)^k nC _k </math>
が成り立つことを示せ。
 
** 解答
2項定理
:<math>(a+b)^n = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k a^k b^{n-k}</math>
についてa,bに適当な値を代入すればよい。
 
(I)
a = 1,b=1を代入すると、
:<math>(1+1)^n = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k </math>
:<math>2^n = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k </math>
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
 
(II)
a=2,b=1を代入すると、
:<math>(1+2)^n = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k 2^k</math>
:<math>3^n = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k 2^k</math>
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
 
(III)
a=1,b=-1を代入すると、
:<math>(1-1)^n = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k (-1)^k</math>
:<math>0 = \sum _{k = 0}^n {} _nC _k (-1)^k</math>
となり確かに与えられた関係が成立することが分かる。
 
=== 確率とその基本的な法則===
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