「高等学校数学I/数と式」の版間の差分
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多項式の用語は日本の高校教科書に合わせるべき。 |
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==数と式==
===式の展開と因数分解===
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3や12などの数（定数）や、''x'' や ''y'' などの文字（変数）を掛けあわせてできる式を'''項'''（こう、term）という。
次のようなものが項である。
* 3''x''
* 12''y''
* 0
* -''x''
* 256''xy''<sup>2</sup>
このように一つの項だけからできている式を'''単項式'''（たんこうしき、monomial）
以下は多項式の例である。▼
*3''x'' + 12''y''▼
*5 + ''a'' - 13''x''<sup>2</sup>''y''▼
*''a''<sup>2</sup> + 2''ab'' + ''b''<sup>2</sup>▼
*x - y▼
*2▼
単項式も、項が1つしかない多項式の一つであると考える。''x'' - ''y'' のように減法を含む式は、''x'' - ''y'' = ''x'' + (-''y'') = -''y'' + ''x'' と減法を加法に直すことができるので、''x'', -''y'' を項にもつ多項式であると考えられる。すなわち、多項式の項とは、多項式を足し算の形に直したときの、一つ一つの足しあわさっている式のことである。たとえば 5 + ''a'' - 13''x''<sup>2</sup>''y'' = 5 + ''a'' + (-13''x''<sup>2</sup>''y'') の項は 5, ''a'', -13''x''<sup>2</sup>''y'' の3つである。▼
:（※ 重要: 「多項式」とは？） 中学では「'''多項式'''」（たこうしき、polynomial）とは、項が2つ以上の式だと習った。しかし、多項式の定義を変更して、項が1つ以上の式なら多項式と呼ぶことにすると、単項式と多項式との場合を分けをする必要がなくなり、証明問題などの歳に便利になる。実際、大学などでは日本だけでなく外国の大学でも、このような「多項式」の定義を使っている場合も多い。
:ところが、「多項式」とは文字をみれば、「項の多い式」という意味なので、項を1つだと定義すると、定義と名前が一致しておらず、混乱の原因にもなる。
*問題▼
:そこで日本の高校教育では、高校の検定教科書では、「項が1つ以上の式」という概念については整式（せいしき）という用語を使っている。ここでいう「整」式とは、整理された式というような意味である。けっして、整数の式という意味ではない。なので、係数などは小数や分数でもよい。
※ あらためて「整式」を定義すると、次のような定義になる。
1つ以上の単項式を足しあわせてできる式を'''整式'''（せいしき）という。
▲* 3''x'' + 12''y''
▲* 5 + ''a'' - 13''x''<sup>2</sup>''y''
▲* ''a''<sup>2</sup> + 2''ab'' + ''b''<sup>2</sup>
▲* x - y
▲* 2
単項式でも、項が1つしかない整式の一つであると考えることができるので、「整式」という概念を使うことにより、多項式と単項式との区別の必要がなくなる。
▲
▲* 問題
次の式のうち単項式であるものを答えよ。
* 解答
(1
* 備考
*解説▼
====
3''x''<sup>2</sup> + 5''x''<sup>2</sup> + 8''x'' の 3''x''<sup>2</sup> と 5''x''<sup>2</sup> のように、多項式の文字と指数がまったく同じである項を総称して'''同類項'''（どうるいこう、like terms）という。
同類項は分配法則 ''ab'' + ''ac'' = ''a''(''b'' + ''c'') を使ってまとめることができる。たとえば 3''x''<sup>2</sup> + 5''x''<sup>2</sup> + 8''x'' = (3 + 5)''x''<sup>2</sup> + 8''x'' = 8''x''<sup>2</sup> + 8''x'' である。8''x''<sup>2</sup> と 8''x'' は文字は同じであるが指数が異なるので、同類項ではない。
* 問題
次の多項式の同類項を整理せよ。
# <math>4x^3 - 3xy - 2 + 1 - 3x^3 + 4xy</math>
# <math>2a^2 - 4ab + 2a - 4ab^2 - 4a^2b</math>
# <math>9 x^2 y^3 z^4 - 8 z^2 y^3 x^4 + 7zyx - 6xyz + 5 x^2 yz - 4 y^2 x z + 3 z x^2 y - 2 x^4 y^3 z^2</math>
# <math>x^3 + xy - 1</math>▼
# <math>2a^2 - 4ab + 2a - 4ab^2 - 4a^2b</math>▼
# <math>-10 x^4 y^3 z^2 + 9 x^2 y^3 z^4 + 8 x^2 yz - 4 x y^2 z + xyz</math>▼
==== 次数 ====▼
3''x'' という単項式は、3という数と ''x'' という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の'''係数'''（けいすう、coefficient）という
▲# <math>x^3 + xy - 1</math>
▲# <math>2a^2 - 4ab + 2a - 4ab^2 - 4a^2b</math>
▲# <math>-10 x^4 y^3 z^2 + 9 x^2 y^3 z^4 + 8 x^2 yz - 4 x y^2 z + xyz</math>
たとえば ー''x'' = (ー1)''x'' という単項式の係数は ー1 である。
▲====次数====
▲3''x'' という単項式は、3という数と ''x'' という文字に分けて考えることができる。数の部分を単項式の'''係数'''（けいすう、coefficient）という。たとえば -''x'' = (-1)''x'' という単項式の係数は-1である。
256''xy''<sup>2</sup> という単項式は、256という数と ''x'', ''y'', ''y'' という文字に分けて考えることができるので、この単項式の係数は256である。一方、掛けあわせた文字の数を単項式の'''次数'''（じすう、degree）という。256''xy''<sup>2</sup> は ''x'', ''y'', ''y'' という3つの文字を掛けあわせてできているので、この単項式の次数は3である。0という単項式の次数は 0 = 0''x'' = 0''x''<sup>2</sup> = 0''x''<sup>3</sup> = ... と一つに定まらないので、ここでは考えない。
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