「高等学校数学I/2次関数」の版間の差分

とりあえず平方完成をグラフの単元に統合。
(検定教科書では、平方完成は2次関数のグラフの単元の中で習う。)
(とりあえず平方完成をグラフの単元に統合。)
 
 
==== 一般形と標準形 ====
 
=== 一般の2次関数のグラフ ===
 
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
:<math>
y=a(x-p)^2+q
</math>
に変換する。ここで、
:<math>
p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{b^2-4ac}{4a}
</math>
 
この標準形のグラフは<math>y=ax^2</math> のグラフを <math>x</math> 軸方向に <math>p</math>, <math>y</math> 軸方向に <math>q</math> 平行移動させたものと考えることができる。よって以下の事実が結論付けられる。
 
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|'''二次関数のグラフ'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
:二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは軸が<math>x=-\frac{b}{2a}</math> , 頂点が <math>\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math> であるような放物線である。
|}
 
 
== 一般形と標準形 ==
 
本節では二次関数の一般形と標準形について学ぶ。この知識は後で二次関数をグラフで表す際に役立つ。
後述するように、標準形は2次関数をグラフで表す際に用いる。
 
===== 証明 =====
 
標準形
:#<math>y=4\left(x+\frac{3}{2}\right)^2</math>
:#<math>y=\left(x+\frac{5}{2}\right)^2-\frac{25}{4}</math>
 
=== 一般の2次関数のグラフ ===
 
一般の2次関数をグラフで表現してみよう。 前述のように2次関数は平方完成の手順を踏む事により必ず標準形で表記可能なので、2次関数<math>y=ax^2+bx+c</math>を標準形
:<math>
y=a(x-p)^2+q
</math>
に変換する。ここで、
:<math>
p=-\frac{b}{2a},\quad q=-\frac{b^2-4ac}{4a}
</math>
 
この標準形のグラフは<math>y=ax^2</math> のグラフを <math>x</math> 軸方向に <math>p</math>, <math>y</math> 軸方向に <math>q</math> 平行移動させたものと考えることができる。よって以下の事実が結論付けられる。
 
{| style="border:2px solid pink;width:80%" cellspacing=0
|style="background:pink"|'''二次関数のグラフ'''
|-
|style="padding:5px"|
;定理
:二次関数 <math>y=ax^2+bx+c</math> のグラフは軸が<math>x=-\frac{b}{2a}</math> , 頂点が <math>\left(-\frac{b}{2a},-\frac{b^2-4ac}{4a}\right)</math> であるような放物線である。
|}
 
 
 
 
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