「高等学校数学I/2次関数」の版間の差分

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{| class="wikitable" style="text-align:center;"
! ''x'' 
| … || -3 || -2 || -1 || 0 || 1 || 2 || 3 || … 
|----
! 2''x<sup>2</sup>'' 
[[File:Y=2(x-3)^2.svg|thumb|400px]]
 
y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3) のグラフは、 2x''<sup>2</sup>'' のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であり、
:軸は 直線 x=3
:頂点は 点(3, 0)
[[File:Y=2(x-3)^2+4.svg|thumb|400px]]
 
y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3)+4 のグラフは、 y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3) のグラフをy軸方向に4だけ平行移動した放物線である。
 
そして、y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3) のグラフは y=2x''<sup>2</sup>'' のグラフをx軸方向に3だけ平行移動した放物線であったので、つまり
 
y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3)+4 のグラフは、y=2x''<sup>2</sup>'' のグラフを x軸方向に3, y軸方向に4, 平行移動した放物線である。
 
よって、
|-
|style="padding:5px"|
: 一般に y=a(x-p)<sup>2</sup>+p のグラフは、
:y=ax<sup>2</sup> のグラフをx軸方向に p, y軸方向にq , 平行移動した放物線であり、
::'''軸は 直線 x=p''' 、 ''' 頂点は 点 (p, q) '''
|style="padding:5px"|
;定理
:一般形の2次関数の一般形は必ず二次関数の標準形でも表記に変形することができ、逆に標準形の2次関数の標準形は必ず二次関数の一般形に変形することがも表記可能である。
 
|}
 
2次間数にかぎらず、一般に関数 y = f(x)において、
 
ある問題において、変数x のとりうる値の範囲のことを'''定義域'''(ていぎいき、domain)という。
 
 
また、xの値に対応して y の値のとりうる範囲のことを'''値域'''(ちいき、range)という。
 
多くの場合、値域は定義域の影響を受ける場合もあて変化する。
 
;例
 
 
特に定義域の与えら指定されてない問題で場合は、可能なかぎり定義域を広くとるのが普通である。
 
:たとえば、特に定義域が与えら指定さていない場合、 関数 <math> y=x</math> の定義域は、実数全体である。
 
 
:関数 <math> y=\frac{1}{x} </math> では、定義域としてには、 x=0 を除外す含めことはできないそのため、特に定義域が与えら指定さていない場合、 関数 <math> y=\frac{1}{x} </math> の定義域は、0をのぞく実数全体である。
 
 
 
;その他の例
:たとえば、関数 y=-x+5 は、定義域をもし 1 ≦ x ≦ 8 とした場合、
:値域は -3 ≦ y ≦ 4 となる。
 
 
 
 
もし、定義域を定しなければ、関数 y=2x に最大値は無い(定義域の指定がなければ、xが どこまでも大きくなるし、それに比例してyも大きくなるので)。
 
 
 
;例1
:関数 y=-x+5   ( 1 ≦ x ≦ 8 )では、
:値域は -3 ≦ y ≦ 4 なので、
:最大値は 4 , 最小値は -3 である。
 
 
=== 2次関数の最大値・最小値 ===
[[Image:Qfunction.png|thumb|right|250px|図1 (y=x<sup>2</sup>のグラフ)]]
定義域が実数全体である2次関数<math>y=ax^2+bx+c</math> では、右図のように、aの正負によって最小(a<0(a>0 の場合)、または最大値がある(a>0(a<0の場合)。
 
ある関数が最大の値をもつとき、その値をこの関数の'''最大値'''という。
 
同様に、ある関数が最小の値をもつとき、その値をこの関数の'''最小値'''という。
 
 
;例1   関数 <math>y=x^2</math>  の場合
 
 
;例2  関数 y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3)+4 の場合
:たとえば、実数の範囲で考えた場合、関数 y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3)+4 の最小値は4である。
:関数 y=2(''x''-3)<sup>2</sup>''ー3)+4  に最大値は無い。
 
 
;例3  関数 y=-x<sup>2</sup>  の場合
:x<sup>2</sup> の係数がマイナスなので、最大値をもつ。最小値はもたない。
:実数の範囲で考えた場合、関数 y=x<sup>2</sup> の最大値は 0 である。
:関数 y=xy=-x<sup>2</sup> に最小値は無い。