「大学受験参考書/数学」の版間の差分
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『高等学校数学II/式と証明・高次方程式』 2019年6月17日 (月) 09:41 から、現在の版では除去されている複素数の導入と3次方程式との関係について、こちらに移動。 |
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'''注意'''
:本頁では、読者がすでに、学校の検定教科書や、wikibooks『[[高等学校数学]]』などを読んでおり、該当する単元の計算法を習っている事を前提にしている。これらの教材では説明の省略された背景知識について本頁では追記する。
== 複素数 ==
=== 導入 ===
二次方程式 <math>ax^2+bx+c = 0</math> の解の公式 <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> で、判別式 <math>\sqrt{b^2-4ac}</math> がマイナスの場合、x軸との交点は無かった。▼
複素数を使うと、2次方程式を全ての場合において、因数分解できるようになる。
では、そもそも、「なぜ2次方程式を複素数を使ってまで因数分解する必要があるのか？」とか、「2次方程式を因数分解しても、3次以上の方程式で矛盾しないか？」という心配については、
:じつは3次方程式や4次方程式の解の公式で、因数分解を要求しているから、3次以下の2次方程式を因数分解しても大丈夫である。
3次方程式や4次方程式の解の公式で、実数解のある方程式を因数分解すると、実数解といっしょに虚数解も出て来る場合もある。
このため、けっして実数解と虚数解とは、対立しあうものではなく、3次以上の方程式において実数解を導出するために虚数解も必要になるのである。（説明 おわり）
また、大学レベルの話題になるが、「微分積分」（びぶん せきぶん）などの理論で、複素数を使った因数分解が必要になる場合などもある。
そういう応用を見越して、高校生は とりあえず、複素数をつかった2次方程式の因数分解を計算練習している事情もある。
▲さて、二次方程式 <math>ax^2+bx+c = 0</math> の解の公式 <math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> で、判別式 <math>\sqrt{b^2-4ac}</math> がマイナスの場合、x軸との交点は無かった。
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