「高等学校数学A/場合の数と確率」の版間の差分
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「一般に、有限集合 A の要素の個数を、n(A) で表すことにする。」は日本語として不自然な言い回しなので修正。「にする」には仮定のような用法もあるので。==== 発展: 3つ以上の集合の要素の個数 ==== |
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=== 集合の要素の個数 ===
==== 2つの集合の要素の個数 ====
:※ この単元では、単元『[[高等学校数学A/集合と論理]]』で習う集合の記号を使う。分からなければ、そちらのページも参照せよ。
一般に、有限集合 A の要素の個数を
たとえば、10以下の自然数の集合を U として、そのうち 偶数の集合を A とする場合、
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もし、ある有限集合をあらわす文字が B なら、 その集合の要素の個数は n(B) で表される。とにかく、一般に 「 n(集合) 」 の記法で、有限集合の個数を表す。
次のような問題を考えてみよう。▼
▲では、次のような問題を考えてみよう。
100までの自然数のうち、2または3の倍数は何個あるか？
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よって、100までの自然数のうちの2または3の倍数の個数は 67個 である。
==== 発展: 3つ以上の集合の要素の個数 ====
[[File:Venn diagram of 3 sets.svg|thumb|]]
3つ以上の有限集合の個数については、次の公式が成り立つ
n(A∪B∪C) ＝ n(A) ＋ n(B) ＋ n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) ＋ n(A∩B∩C)
;例題
100以下の自然数のうち、2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数を求めよ。
(解法)
まず、100以下の自然数のうち、
:2の倍数の集合をA、
:3の倍数の集合をB、
:5の倍数の集合をC、
とする。
100÷2のように、100を倍数のもととなる数で割り算したときの商が、100以下の自然数のうちの、ある数の倍数の個数である。
なので、この計算をして要素の個数を求めると、
:n(A) ＝ 50
:n(B) ＝ 33
:n(C) ＝ 20
である。
すると、100以下の自然数のうち
:A∩B は 6の倍数の集合、
:B∩C は 15の倍数の集合、
:C∩A は 10の倍数の集合、
となる。
和集合であっても、100以下の自然数のうちの倍数の要素の個数は、倍数のもとになる数での割り算の商、つまり 100 ÷ （もとの数） の商である事に変わりはないので、
たとえば A∩Bの個数は 100÷6の商である。同様にしてB∩C や C∩A の個数も求めると、
:n(A∩B) ＝ 16
:n(B∩C) ＝ 6
:n(C∩A) ＝ 10
:n(A∩B∩C) ＝ 3
また、100以下の自然数のうち、
:A∩B∩C は 30の倍数の集合 となる。
A∩B∩C の要素の個数は
:n(A∩B∩C) ＝ 3
である。
よって、
:n(A∪B∪C) ＝ n(A) ＋ n(B) ＋ n(C) −n(A∩B) −n(B∩C) −n(C∩A) ＋ n(A∩B∩C) ＝ 50 ＋ 33 ＋ 20 − 16 − 6 − 10 ＋ 3 ＝ 74
なので、100以下の自然数のうちの2の倍数または3の倍数または5の倍数であるものの個数は 74個である。
=== 順列・組合せ===
==== 階乗 ====
場合の数の計算方法の始めとして、n個の異なったものを並べ換える仕方の数を数える。
まず最初に並べるものはn個、次に並べるものは(n-1)個、その次に並べるものは(n-2)個 ... とだんだんと選べるものの数が減って行き、最後には1個しか残らなくなることに注目すると、この事柄に関する場合の数は
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