「制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方」の版間の差分
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を持っていない．同様な構造を持つものは，単に <math>t</math> を掛けるという演算である．
<div id="lemma:2.3">
<strong>補題 2.3</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>t(f*g) = (tf)*g + f*(tg)</math>}}
67 ⟶ 68行目:
合成積に対しては <math>t</math> を掛けるという演算が微分の構造を持っているので，次のような計算ができる．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\underbrace{f*f*\cdots*f}_{n\text{個}} =: (*f)^n</math>}}
とおくと，
{{制御と振動の数学/equation|<math>t(*f)^n = n(*f)^{n-1}*(tf)</math>}}
を得る<ref>
数学的帰納法にて証明しておく．
:<math>t(f*f) = (tf)*f + f*(tf)</math> <math>\because</math> [[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#lemma:2.3|補題 2.3]]<br />
:<math>=f*(tf) + f*(tf)</math> <math>\because</math>[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/合成積の Laplace 変換#ex:19|例19(i)]]<br />
:<math>=2f*(tf)</math>…①<br />
:<math>t(f*f*f) = {t(f*f)}*f + (f*f)*(tf)</math> <math>\because</math> [[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#lemma:2.3|補題 2.3]]<br />
:<math>={2f*(tf)} * f + (f*f)*(tf)</math> <math>\because</math>①<br />
:<math>=2f*f*(tf)+f*f*(tf)</math> <math>\because</math>[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/合成積の Laplace 変換#ex:19|例19(i)および(iii)]]
:<math>=3f*f*(tf) = 3(*f)^2*(tf)</math> …② <math>\because</math>[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/合成積の Laplace 変換#ex:19|例19(ii)を援用]]
今，<math>t(*f)^k = k(*f)^{k-1}*(tf)</math> のとき，…③<br />
:<math>t(*f)^{k+1} = t{(*f)^k *f}</math>
:<math>={t(*f)^k}*f + (*f)^k*(tf)</math> <math>\because</math> [[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#lemma:2.3|補題 2.3]]<br />
</ref>．とくに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_n(t)=(*\frac{1}{\beta}\sin\beta t)^n</math>}}
のときは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>tf_n = nf_{n-1}*\frac{t}{\beta}\sin\beta t</math>}}
となる．
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