「制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方」の版間の差分
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[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/二階線形微分方程式の解法#lemma:2.2|合成積の微分の公式]]にて，
<math>f = \underbrace{\frac{1}{\beta}\sin\beta t * \frac{1}{\beta}\sin\beta t * \cdots * \frac{1}{\beta}\sin\beta t}_{n-1 \text{個}}, \quad g = \frac{1}{\beta}\sin\beta t</math>とおくと，<math>\frac{dg}{dt}=\cos\beta t</math>，また <math>g(0)=\frac{1}{\beta}\sin\beta t|_{t=0} = 0</math>．<br />
</ref>|tag=(2.32b)|label=eq:2.32b}}
となるから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset f_n(t) \Longrightarrow \frac{s}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset \frac{df_n(t)}{dt}</math>|tag=(2.32c)|label=eq:2.32c}}
を得る．この結果は <math>f_n(0)=0</math> は明らか<ref>
<math>\int_0^{t=0} f(t, \tau)d\tau = 0</math>．
43 行
よって次の結果を得る．
<div id="theorem:1">
<strong>公式 1</strong>
96 ⟶ 97行目:
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_n(t)=(*\frac{1}{\beta}\sin\beta t)^n</math>}}
のときは，
{{制御と振動の数学/equation|<math>tf_n = nf_{n-1}*\frac{t}{\beta}\sin\beta t</math>|tag=(2.34)|label=eq:2.34}}
となる．
なぜ合成積に対しては <math>t</math> を掛けることが微分することを意味するのかは，[[w:%E3%83%A9%E3%83%97%E3%83%A9%E3%82%B9%E5%A4%89%E6%8F%9B|Laplace 変換]]の像関数の世界で考えてみれば納得できるが，それは後ほど説明することにして，本題に入ろう．
<div id="theorem:2">
<strong>公式 2</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset f_n(t)</math> とおけば，}}
{{制御と振動の数学/equation|(1) <math>\quad \frac{s}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset \frac{t}{2(n-1)}f_{n-1}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|(2) <math>\quad f_{n+1} = \frac{1}{2\beta^2} \left\{ \frac{2n-1}{n}f_n - \frac{t^2}{2n(n-1)} f_{n-1} \right\} </math>|tag=(2.34b)|label=eq:2.34b}}
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