「高等学校数学A/図形の性質」の版間の差分

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* 導出
[[File:Gravity center triangle ABC.svg|thumb|]]
三角形ABCを取りBC,ACの中点をそれぞれD,Eとする。また、線分AD,BEの交点をFとする。ここで、点Eから線分ADに向かって辺BCに平行な線分を取り、
線分ADとの交点をIとする。
 
三角形 ABC を取りBC,ACの中点をそれぞれ D, E とする。また、線分AD,BEの交点をF G とする。ここで、点Eから線分ADに向かって辺BCに平行な線分を取り、
このとき、三角形FEIと、FBDは相似であり
線分ADとの交点をI L とする。
お互いの相似比は1:2であることを示す。
 
IEとBCが平行であることから、
このとき、三角形FEI GEL と、FBDGBDは相似であり
お互いの相似比は 1:2 であることを示す。
IELEとBCが平行であることから、
:<math>
\angle FBDGBD = \angle FEIGEL
</math>
:<math>
\angle FDBGDB = \angle FIEGLE
</math>
 
となり、2角が等しいことから三角形FEIと、FBDは相似である。
となり、2角が等しいことから三角形 GEL と 三角形 GBD は相似である。
更に、IELEとBCが平行であることから三角形AIEALEとADCも相似であり、その相似比は点Eが線分ACの中点であることを考えると、1:2である。よって、
:<math>
IELE: DC = 1:2
</math>
が成立し、三角形FEIGELFBDGBDの相似比は1:2であることがわかった。
また、三角形AIEALEとADCの相似から
:<math>
AIAL = IDLD
</math>
が得られる。これらのことからAFAGとADの比を計算すると、
:<math>
AFAG = AIAL + IFLF = \frac 1 2 AD + \frac 1 3 IDLD
</math>
 
:<math>
= \frac 1 2 AD + \frac 1 6 AD = \frac 2 3 AD
</math>
となり、確かにF G はADを2:1に内分する点になっている。
 
 
三角形の3つの中線の交点のことを、その三角形の '''重心''' (じゅうしん)という。
 
 
 
 
65 ⟶ 64行目:
から、
:<math>
AFAG : FDGD = 2:1
</math>
が導かれたのであるので、今回は既に
:<math>
BD : DC = 1:1, AF\quad AG : FDGD = 2:1
</math>
が知られているので上と同じ議論によって
75 ⟶ 74行目:
AJ: JB = 1:1
</math>
が導かれることが予想される。よって、AJ:JB=1:1が示されるのである。
 
* 注意
上のような計算によって示される定理を メネラウスの定理 と呼ぶ。この定理を用いてよいのなら、上の結果はすぐに示される。
[[w:メネラウスの定理]],[[高等学校理数数学]]などを参照。
 
三角形の3つの中線の交点のことを、その三角形の '''重心''' (じゅうしん)という。
 
==== 三角形の外心 ====