「高等学校数学A/図形の性質」の版間の差分

削除された内容 追加された内容
→‎三角形の外心: 図を追加。外心の図。
66 行
==== 三角形の外心 ====
[[File:Circumcenter triangle.svg|thumb|300px]]
右図のように、三角形の3つの頂点を通る円が、かならず存在する。
 
このように、三角形の3つの頂点を通る円(右図では赤線の部分)のことを'''外接円'''(がいせつえん、 英:circumscribed circle)という。
三角形の'''外心'''とは三角形の外接円の中心のことである。
 
ここで、'''外接円'''(がいせつえん、 英:circumscribed circle)とは三角形の3つの頂点を通過する円のことである。
そして、外接円の中心(右図の点Oの部分)のことを、その三角形の '''外心'''(がいしん)という。
このため、三角形の外心は三角形の全ての点から等しい距離にある点である。
 
三角形の外心について次のことが成り立つ。
 
これらの事の視点の基準を、(円ではなく)三角形を基準にして考えると、次のような定理として言い換えられる。
 
{| style="border:2px solid yellow;width:80%" cellspacing=0
76 ⟶ 79行目:
|-
|style="padding:5px"|
;定理
三角形の3辺のそれぞれに対して垂直2等分線を取ったとき、それぞれの直線は1点で交わる。このとき、それぞれの点が交わる1点がその三角形の外心である。
 
三角形の3つの辺の垂直二等分線は1点で交わる。
|}
 
[[File:Circumcenter triangle proof.svg|thumb|]]
 
;証明
 
三角形の3ABCを取り、AB,AC のそれぞれに対して垂直2等分線を取ったときそれぞれの2直線は1点で点をOとする。このとき、点OがAB,ACのそれぞれの点が交わに対す1点がその三角形の外心で垂直2等分線上にあることから
:<math>AO = OB</math>  かつ  <math>AO = OC</math>
であるので、
:<math>OB = OC</math>
が成り立つ。
 
よって点Oは辺BCの垂直二等分線上にある。(※ 検定教科書では、辺の両端の2つの頂点から等距離にある点を結んだ線分が垂直二等分線である事は、証明の不要な事実として扱っている。)  (証明 おわり)
 
 
 
上の証明から、<math>OA = OB = OC</math> であるので、この点は三角形の3つの頂点から等距離にあることが分かり、この点Oを三角形ABCの外心として扱うことが出来る。
* 導出
三角形ABCを取り、辺AB,BCのそれぞれに対して垂直2等分線を取り、2直線の交点をGとする。このとき、点GがAB,BCのそれぞれに対する垂直2等分線上にあることから
:<math>
AG = GB = GC
</math>
が成り立つ。このことから、この点は三角形の全ての頂点から等距離にあることが分かり、この点を三角形ABCの外心として扱うことが出来る。また、辺ACの垂直2等分線が点A,Cから等距離にある点を全て含んでいることを考えると点Gは必ずACの垂直2等分線上にあることが分かる。
 
==== 三角形の内心 ====