「制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方」の版間の差分
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{{制御と振動の数学/equation|(1) <math>\quad \frac{s}{(s^2+\beta^2)^n} \sqsubset \frac{t}{2(n-1)}f_{n-1}</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|(2) <math>\quad f_{n+1} = \frac{1}{2\beta^2} \left\{ \frac{2n-1}{n}f_n - \frac{t^2}{2n(n-1)} f_{n-1} \right\} </math>|tag=(2.34b)|label=eq:2.34b}}
<strong>証明</strong>
(1) <math>\frac{df_n}{dt} = \frac{t}{2(n-1)}f_{n-1}</math> を示せばよい．
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{\beta}\sin\beta t * \cos\beta t = \frac{t}{2\beta}\sin\beta t</math>|tag=(2.21)|label=eq:2.21}}
であったから，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{df_n}{dt}=\underbrace{\frac{1}{\beta}\sin\beta t * \frac{1}{\beta}\sin\beta t * \cdots * \frac{1}{\beta}\sin\beta t}_{n-1\text{個}} * \cos\beta t</math>|tag=(2.32b)}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=f_{n-2} * \frac{t}{2\beta}\sin\beta t</math>}}
となる．これに式 [[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#eq:2.34|(2.34)]] を考慮すれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\frac{t}{2(n-1)}f_{n-1}</math>}}
を得る<ref>
[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#eq:2.34|式(2.34)]] より，<br />
:<math>tf_n = nf_{n-1}*\frac{t}{\beta}\sin\beta t</math>
:<math>tf_{n-1} = (n-1)f_{n-2} * \frac{t}{\beta}\sin\beta t</math>
両辺を <math>2(n-1)</math> で割ると，<br />
:<math>\frac{t}{2(n-1)}f_{n-1} = f_{n-2} * \frac{t}{2\beta}\sin\beta t</math>
</ref>．
<references />
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