「制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方」の版間の差分
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両辺を <math>2(n-1)</math> で割ると，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/Laplace 変換の定義とその基本的性質/合成積の Laplace 変換#ex:19|例19(ii)]]より，<br />
:<math>\frac{t}{2(n-1)}f_{n-1} = f_{n-2} * \frac{t}{2\beta}\sin\beta t</math>
</ref>}}を得る．
(2) 上の結果 (1) を二度用いると、
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2f_{n+1}}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left( \frac{t}{2n}f_n\right) = \frac{f_n}{2n} + \frac{t^2}{4n(n-1)}f_{n-1}</math>}}
となるが，これと式[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#eq:2.33|(2.33)]] の結果，
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{d^2f_{n+1}}{dt^2} = -\beta^2f_{n+1}+f_n</math>}}
を等置すれば，求める結果を得る．
<!-- ex:054:start-->
<div id="ex:54">
<strong>例54</strong><math>\quad</math>
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_1(t)=\frac{1}{\beta}\sin\beta t</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_2(t)=\frac{1}{2\beta^2}\left(\frac{1}{\beta}\sin\beta t - t\cos\beta t\right)</math>}}
から，<math>f_3(t)</math> と <math>f_4(t)</math> を計算すると，
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_3(t)=\frac{1}{2\beta^2}\left[\frac{3}{2}f_2(t)-\frac{t^2}{4}f_1(t)\right]</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\frac{1}{(2\beta^2)^2}\left[\left(\frac{3}{2}-\frac{\beta^2t^2}{2}\right)\frac{1}{\beta}\sin\beta t-\frac{3}{2}t\cos\beta t\right]</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>f_4(t)=\frac{1}{2\beta^2}\left[\frac{5}{3}f_3(t)-\frac{t^2}{12}f_2(t)\right]</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>=\frac{1}{(2\beta^2)^3}\left[\left(\frac{5}{2}-\beta^2t^2\right)\frac{1}{\beta}\sin\beta t - \frac{1}{2}\left(5-\frac{\beta^2t^2}{3}\right)t\cos\beta t\right]</math>}}
となる．
<math>\diamondsuit</math>
<!-- ex:054:end-->
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