「制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/別法」の版間の差分
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:<math>\frac{d^2}{ds^2}\frac{1}{(s^2+\beta^2)^{n-1}} = \frac{d}{ds}\left(-\frac{2(n-1)s}{(s^2+\beta^2)^n}\right)</math>
:<math>=\frac{-2(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} + \frac{4n(n-1)s^2}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{-2(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} + 4n(n-1)\left(\frac{(s^2+\beta^2) - \beta^2}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}\right)</math>
:<math>=\frac{-2(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} + \frac{4n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n} - \frac{4\beta^2n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{4n^2-4n-2n+2}{(s^2+\beta^2)^n} - \frac{4\beta^2n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
:<math>=\frac{2(2n-1)(n-1)}{(s^2+\beta^2)^n}-\frac{4\beta^2n(n-1)}{(s^2+\beta^2)^{n+1}}</math>
この原像は，<br />
:<math>t^2f_{n-1} = 2(2n-1)(n-1)f_n - 4\beta^2n(n-1)f_{n+1}</math>
:<math>4\beta^2n(n-1)f_{n+1} = 2(2n-1)(n-1)f_n - t^2f_{n-1}</math>
:<math>f_{n+1} = \frac{1}{4\beta^2}\left\{ \frac{2(2n-1)}{n}f_n - \frac{t^2}{n(n-1)}f_{n-1}\right\}</math>
:<math>=\frac{1}{2\beta^2}\left\{ \frac{2n-1}{n}f_n - \frac{t^2}{2n(n-1)}f_{n-1} \right\}</math>
これが求める結果である．
<math>\diamondsuit</math>
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