「高等学校数学A/図形の性質」の版間の差分
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が得られる。これらのことからAGとADの比を計算すると、
:<math>
AG = AL +
</math>
164 行
{{-}}
*
なお、三角形の内接円の半径を''r''とすると、面積''S''と三辺の長さ''a'',''b'',''c''との間に
:<math>S=\frac{1}{2}r(a+b+c)</math>
の関係式が成り立つ（△ABI、△BCI、△CAIの3つの三角形の面積を考えてみよ）。面積''S''は[[w:ヘロンの公式|ヘロンの公式]]を用いれば三辺の長さから計算できるので、結局三辺の長さがわかっていれば内接円の半径は計算できることがわかる。
==== 三角形の垂心 ====
184 行
[[File:Orthocenter triangle proof.svg|thumb|400px]]
点Aを通り辺BCに平行な直線、点Bを通り辺CAに平行な直線、点Cを通り辺ABに平行な直線をかき、これらの直線の交点を図のようにP,Q,Rとする。
四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA ＝ BC である。▼
▲すると、四角形RBCA は平行四辺形なので、 RA ＝ BC である。
同様に、四角形ABCQ も平行四辺形なので BC＝AQ である。
次に、点Aから対辺BCまたはその延長上に垂線ADを引く。▼
▲上記より RA＝BC かつ BC＝AQ なので
すると、 RQ // BC の仮定により、平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、▼
▲次に、点Aから対辺またはその延長上に垂線ADを引く。
▲平行な2直線の同位角が等しい事を利用して、
:AD ⊥ RQ
が導かれる。したがって、この線分ADは、△RQPの辺RQの垂直二等分線である。
この3本の垂直二等分線は、△RQPの外心で交わる。すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。▼
▲すなわち△ABCの各頂点から対辺に引いた3本の垂線 AD,BE,CF は一点で交わる。
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[[File:Triangle excenter proof.svg|thumb|300px]]
外角Bと外角Cの二等分線の交点をPとする。
図のように、Pから△ABCの3辺またはその延長線上に垂線PD,PE,PFをおろす。
すると、
:PF＝PD かつ
なので、
である。
▲線分APは∠Aの二等分線になる。 （証明 おわり）
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