「制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明」の版間の差分

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{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = (s-\alpha)^l, </math> および <math>\bigg[(s-\alpha)^2 + \beta^2 \bigg]^l</math>}}
の場合に証明すれば十分である<ref>
<math>p(D) = p_1(D)p_2(D)</math> にて <math>p_2(D)x = 0</math> ならば <math>p(D)x = 0</math>.よって <math>p_2(D)x = 0</math> かどうかを調べればよい. この節の証明方針を以下に整理すると,[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明#theorem:3.2|定理3.2]](i) の <math>\frac{q(s)}{p(s)}</math> の分母 <math>p(s)</math> を因数分解したときに因数に <math>(s-\alpha)^l</math> を持ち,したがって[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/部分分数分解#bubun-bunsu|部分分数展開]]の結果,項 <math>\frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^l}</math> を持つのであれば,[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/部分分数分解#bubun-bunsu1|第一分解定理]]より <math>q_1(s)</math> は <math>l-1</math> 次の <math>s</math> の多項式であるから,<math>\frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^l}</math> の原像は[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.17b|式(2.17b)]]より <math>t</math> の最高次数が <math>l-21</math> 次の <math>t</math> の多項式(に <math>e^{\alpha t}</math> を乗じたもの)になる.この場合,特性多項式は <math>p_2(D) = (D-\alpha)^l</math> になるから<math>(D-\alpha)^l\ \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^l}\bigg] = 0</math> になることを確認する. 部分分数展開の結果,項として <math>\frac{q_2(s)}{(s-\alpha)^2 + \beta^2}</math> を持つものについては後述される.
</ref>.
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s-\alpha)^l} \sqsubset \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}e^{\alpha t} \Longrightarrow (D-\alpha)^l \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}e^{\alpha t} = 0</math>}}