「制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明」の版間の差分

<math>p(D) = p_1(D)p_2(D)</math> にて <math>p_2(D)x = 0</math> ならば <math>p(D)x = 0</math>．よって <math>p_2(D)x = 0</math> となる <math>p_2(D)</math> があればよい． この節の証明方針を以下に整理すると，[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明#theorem:3.2|定理3.2]](i) の <math>\frac{q(s)}{p(s)}</math> の分母 <math>p(s)</math> を因数分解したときに因数に <math>(s-\alpha)^l</math> を持ち，したがって[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/部分分数分解#bubun-bunsu|部分分数展開]]の結果，項 <math>\frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^l}</math> を持つのであれば，[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/部分分数分解#bubun-bunsu1bunsu2|第一二分解定理]]よりまで実施した結果，項 <math>q_1\frac{a}{(s-\alpha)^l}</math> はを持つのであれば，この原像の <math>l-1t</math> の次数が微分方程式の解 <math>sx</math> を構成するの多項式の中であるから，<math>\frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^l}</math>最高次数となり の原像は[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/指数関数の Laplace 変換とその応用#eq:2.17b|式(2.17b)]]より <math>t</math> の最高次数がは <math>l-1</math> 次の <math>t</math> の多項式（に <math>e^{\alpha t}</math> を乗じたもの）になる．この場合，特性多項式はれに作用素 <math>p_2(D) = (D-\alpha)^l</math> を働かせた結果が <math>0</math> になるかられば，証明全体の中のこの項 <math>(D-\alpha)^l\ \mathcal{L}^{-1}\bigg[\frac{q_1(s)}{(s-\alpha)^l}\bigg] = 0</math> にな関与すること部分を確認す完了させられる． 部分分数展開の結果，項として <math>\frac{q_2q(s)}{(s-\alpha)^2 + \beta^2}</math> を持つものについては後述される．