「制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明」の版間の差分

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{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s-\alpha)^l} \sqsubset \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}e^{\alpha t} \Longrightarrow (D-\alpha)^l \frac{t^{l-1}}{(l-1)!}e^{\alpha t} = 0</math>}}
は[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/特性多項式の構造と解の性質#ex:67|例67]]で示した.よって,定理は,
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = \bigg[ (s - \alpha)^2 + \beta^2 \bigg]^l</math>}}
の場合だけ示せばよい.ところで[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/特性多項式の構造と解の性質#lemma:3.3|補題 3.3]] に留意すれば,
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(s) = ( s^2 + \beta^2 )^l</math>}}
の場合だけを論ずればよいことが分かる.したがって,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{(s^2 + \beta^2)^l} \sqsubset \varphi_l(t) \Longrightarrow (D^2+\beta^2)^l \varphi_l = 0</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{s}{(s^2 + \beta^2)^l} \sqsubset \phi_l(t) \Longrightarrow (D^2+\beta^2)^l \phi_l = 0</math>}}
を確めればよいことが分かる.ところが,これらは[[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方|前章]]ですでに示されている.
すなわち [[制御と振動の数学/Laplace 変換/有理関数の原像/有理関数の原像の求め方#eq:2.33|式 (2.33)]] によれば,
{{制御と振動の数学/equation|<math>(D^2+\beta^2)\varphi_l = \varphi_{l-1}, \quad \varphi_1(t) = \frac{1}{\beta}\sin\beta t</math>}}
より直ちに,
{{制御と振動の数学/equation|<math>(D^2+\beta^2)^l\varphi_l = 0</math>}}
が出る.また,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\phi_l(t) = D\varphi_l(t)</math>}}
に注意すれば,
{{制御と振動の数学/equation|<math>(D^2 + \beta^2)^l \phi_l = 0</math>}}
も明らかである.以上で定理の (i) の部分が示された.
 
 
(ii) の部分は次のようにして示される.いま証明したことから,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{1}{p(s)} \subset g(t)</math>}}
は <math>p(D)x = 0</math> の解である.しかも初期値は,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(0) = x'(0) = x''(0) = \cdots = x^{(n-2)}(0) = 0, \quad x^{(n-1)}(0) = 1</math>}}
を満たす.この初期条件に留意しつつ <math>g*f</math> に[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/二階線形微分方程式の解法#lemma:2.2|合成積の微分の公式]]を次々に適用すると,
{{制御と振動の数学/equation|<math>g*f = g*f</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>D(g*f) = (Dg)*f</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>D^2(g*f) = (D^2g)*f</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>\vdots</math>}}
{{制御と振動の数学/equation|<math>D^{n-1}(g*f) = (D^{n-1})*f</math>}}
および,
{{制御と振動の数学/equation|<math>D^n(g*f)=(D^ng)*f + f</math>}}
となり,上から順に <math>a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots a_2, a_1, 1</math> を掛けて加えると,
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)(g*f) = p(D)g*f + f = f</math>}}
を得る.
 
 
この証明からも分かる通り,<math>f(t)</math> の Laplace 変換が存在しなくても <math>g*f</math> は,
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)x = f</math>}}
の解となる.たとえば,
{{制御と振動の数学/equation|<math>\frac{x}{t} + x = e^{t^2}, \quad x(0) = 0</math>}}
において,<math>e^{t^2}</math> の Laplace 変換は存在しないが,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = e^{-t}*e^{t^2} = \int_0^t e^{-(t-\tau)}e^{\tau^2}d\tau</math>}}
が解であることは明らかである.
 
 
 
 
<references />