「制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明」の版間の差分

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68 行
で,<br />
<math>G(s) = \frac{1}{p(s)} \sqsubset g(t)</math> と <math>G</math> をおくと,<br />
<math>s^nG + a_1s^{n-1}G + a_2s^{(n-2)}G + \cdots + a_{n-2}s^2G + a_{n-1}sG + a_nG = 01</math>…①<br />
一方,[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.10|式 (2.1) ]],したがって[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/f(t) の積分および微分の Laplace 変換#eq:2.11|式 (2.11) ]]より、<br />
<math> sG = \mathcal{L}[g'] + g(0)</math><br />
74 行
<math> s^3G = \mathcal{L}[g'''] + g(0)s^2 + g'(0)s + g''(0)</math><br />
<math> \vdots</math><br />
<math> s^{n-1}G = \mathcal{L}[g^{(n-1)}] + g(0)s^{n-2} + g'(0)s^{n-3} + \cdots + g^{(n-2)}</math><br />
<math> s^{</math>
<math> s^{n}G = \mathcal{L}[g^{(n)}] + g(0)s^{n-1} + g'(0)s^{n-2} + \cdots + g^{(n-1)}</math><br />
 
これらを①に代入して,<br />
 
<math>\mathcal{L}\bigg[g^{(n)} + a_1g^{(n-1)} + a_2g^{(n-2)} + \cdots + a_{n-2}g'' + a_{n-1}g' + a_ng\bigg] + g(0)s^{(n-1)} + \left\{ g(0) + g'(0) \right\}s^{(n-2)} + \cdots + \left\{ g(0) + g'(0) + g''(0) + \cdots + g^{(n-2)} \right\} + g^{(n-1)}(0)</math>…②<br />
<math>p(D)g = 0</math> より <math>\mathcal{L}\bigg[\ \bigg]</math> 内は <math>0</math> となり,①より <math>s</math> の係数を比較して,<br />
<math>g(0) = g'(0) = g''(0) = \cdots = g^{(n-2)}(0) = 0, \quad g^{(n-1)} = 1</math><br />
</ref>.この初期条件に留意しつつ <math>g*f</math> に[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換/二階線形微分方程式の解法#lemma:2.2|合成積の微分の公式]]を次々に適用すると,
{{制御と振動の数学/equation|<math>g*f = g*f</math>}}