「制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明」の版間の差分

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63 行
<math>\frac{q(s)}{p(s)} \sqsubset x_0(t)</math> ならば <math>p(D)x_0 = 0</math> で,<math>q(s)=1</math> の場合.<br />
</ref>.しかも初期値は,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(0) = x'(0) = x''(0) = \cdots = x^{(n-2)}(0) = 0, \quad x^{(n-1)}(0) = 1</math>|tag=(3.11b)|label=eq:3.11b}}
を満たす<ref>
<math>p(s) = s^n + a_1s^{n-1} + a_2s^{n-2} + \cdots + a_{n-2}s^2 + a_{n-1}s + a_n</math><br />
90 行
{{制御と振動の数学/equation|<math>D^n(g*f)=(D^ng)*f + f</math>}}
となり,上から順に <math>a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots a_2, a_1, 1</math> を掛けて加えると,
{{制御と振動の数学/equation|<math>p(D)(g*f) = \{p(D)g\}*f + f = f</math>}}
を得る.
 
100 行
において,<math>e^{t^2}</math> の Laplace 変換は存在しないが,
{{制御と振動の数学/equation|<math>x(t) = e^{-t}*e^{t^2} = \int_0^t e^{-(t-\tau)}e^{\tau^2}d\tau</math>}}
が解であることは明らかである<ref>
[[制御と振動の数学/第一類/Laplace 変換による解の吟味/解法の正しさの証明#eq:3.11b|(3.11b)]]の初期値の部分を除いてこれまでの証明にはラプラス変換は含まれていない.また初期値の与え方についても最終項を除いて <math>D^i(g*f) = (D^ig)*f</math> となるように初期値 <math>g^{(i)}(0) = 0</math> と後から与えてよい.
</ref>.