「制御と振動の数学/第一類/複素数値関数の Laplace 変換/複素数値関数の微分積分学/実変数の複素数値関数」の版間の差分
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が導かれる．なぜなら三角関数の加法定理から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(\cos t + i\sin t)(\cos\tau + i\sin\tau) = \cos(t + \tau) + i\sin(t + \tau)</math>}}
が出<ref>
が出，これより直ちに，▼
:<math>(\cos t + i\sin t)(\cos\tau + i\sin\tau) = \cos t\cos\tau + i\cos t\sin\tau + i\sin t\cos\tau - \sin t\sin\tau</math><br />
:<math>= \left\{ \cos t\cos\tau - \sin t\sin\tau \right\} + i\left\{ \cos t\sin\tau + \sin t\cos\tau \right\}</math><br />
:<math>= \cos(t+\tau) + i\sin(t+\tau) \quad (\because </math> 実部は <math>\cos</math> の加法定理，虚部は <math>\sin</math> の加法定理．）<br />
</ref>，
{{制御と振動の数学/equation|<math>(\cos t + i\sin t)^n = \cos nt + i\sin nt</math>}}
が得られる<ref>
が得られるからである．これらの式は [[w:%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%82%A2%E3%83%96%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86| d'Moivre の公式]]として知られている．▼
<math>(\cos t + i\sin t)^n = (\cos t + i\sin t)(\cos t + i\sin t)(\cos t + i\sin t)^{n-2}</math><br />
<math>= (\cos 2t + i\sin 2t)(\cos t + i\sin t)^{n-2} = (\cos 2t + i\sin 2t)(\cos t + i\sin t)(\cos t + i\sin t)^{n-3}</math><br />
<math>= (\cos 3t + i\sin 3t)(\cos t + i\sin t)^{n-3}</math><br />
<math>= (\cos 4t + i\sin 4t)(\cos t + i\sin t)^{n-4}</math><br />
<math>\cdots</math><br />
<math> = \left\{ \cos(n-1)t + i\sin(n-1)\right\}(\cos t + i\sin t)</math><br />
<math> = \cos nt + i\sin nt</math><br />
</ref>
▲
<references />
この加法定理が，もっと一般に成立するものだとすれば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{(a+ib)t} = e^{at}\cdot e^{ibt} = e^{at}(\cos bt + i\sin bt)</math>}}
でなければならない．これが最初に述べた <math>e^{\alpha t}</math> の定義である．すなわち，
<div id="def:4.1">
<strong>定義 4.1</strong>
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{(a+ib)t} = e^{at}(\cos bt + i\sin bt)</math>}}
<math>\diamondsuit</math>
<!-- def:4.1:end-->
<!-- ex:083:start-->
<div id="ex:83">
<strong>例83</strong><math>\quad</math>
この定義から，
{{制御と振動の数学/equation|<math>e^{\alpha t}\cdot e^{\beta t} = e^{(\alpha + \beta)t}</math>}}
<math>\alpha, \beta \in \mathbf{C}</math> を示せ．
<strong>解答例</strong>
<math>\alpha = a + ib, \beta = c + id \quad (a, b, c, d \in \mathbf{R})</math> とおくと，<br />
<math>e^{\alpha t}\cdot e^{\beta t} = e^{(a + ib)t}\cdot e^{(c + id)t}</math><br />
<math>= e^{at}(\cos bt + i\sin bt)\cdot e^{ct}(\cos dt + i\sin dt)</math><br />
<math>= e^{(a+c)t}e^{i(bt)}e^{i(dt)}(\because \cos bt + i\sin bt = e^{i(bt)}, etc.)</math><br />
<math>= e^{(a+c)t}e^{i(bt + dt)} (\because e^{it}e^{i\tau} = e^{i(t+\tau)})</math><br />
<math>= e^{\{(a+c) + i(b+d)\}t}</math>．<br />
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