「制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法」の版間の差分
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ページの作成:「===(1)=== 前章までで取り扱った単独高階の微分方程式， {{制御と振動の数学/equation|<math> \begin{cases} \frac{d^nx}{dt^n} + a_1\frac{d^{n-1}x}{…」 |
編集の要約なし |
||
7 行
\end{cases}
</math>|tag=(5.9)|label=eq:5.9}}
は，次のような変数を選べば，連立微分方程式とみなすことができる．すなわち，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
x_1 = x, \quad x_2 := x', \quad x_3 := x'', \cdots, x_n = x^{(n-1)}</math>}}
とおけば，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
\frac{dx_1}{dt} = x_2 \\
\frac{dx_2}{dt} = x_3 \\
\frac{dx_3}{dt} = x_4 \\
\vdots \\
\frac{dx_{n-1}}{dt} = x_n \\
\frac{dx_n}{dt} = -a_nx_1 - a_{n-1}x_2 - a_{n-2}x_3 - \cdots - a_2x_{n-1} - a_1x_n + f(t)
\end{cases}</math>}}
となり，また初期条件は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
x_1(0) = \xi_1, \quad x_2(0) = \xi_2, \quad x_3(0) = \xi_3, \cdots, x_n(0) = \xi_n</math>}}
となる．
そこで，この節では，もう少し一般化した定数係数の連立 1 階線形微分方程式，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\begin{cases}
\frac{x_1}{dt} = a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 + \cdots + a_{1(n-1)}x_{n-1} + a_{1n}x_n + f_1(t) \\
\frac{x_2}{dt} = a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 + \cdots + a_{2(n-1)}x_{n-1} + a_{2n}x_n + f_2(t) \\
\frac{x_3}{dt} = a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 + \cdots + a_{3(n-1)}x_{n-1} + a_{3n}x_n + f_3(t) \\
\vdots \\
\frac{x_n}{dt} = a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + a_{n3}x_3 + \cdots + a_{n(n-1)}x_{n-1} + a_{nn}x_n + f_n(t)
\end{cases}</math>|tag=(5.10)|label=eq:5.10}}
および初期条件
{{制御と振動の数学/equation|<math>
x_1(0) = \xi_1, \quad x_2(0) = \xi_2, \quad x_3(0) = \xi_3, \cdots, x_n(0) = \xi_n</math>}}
を取り扱うことにする．ここで，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
A := \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n} \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}</math>}}
および，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\boldsymbol{x} := \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
\vdots \\
x_n
\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{f} = \begin{pmatrix}
f_1 \\
f_2 \\
f_3 \\
\vdots \\
f_n
\end{pmatrix}, \quad
\boldsymbol{\xi} = \begin{pmatrix}
\xi_1 \\
\xi_2 \\
\xi_3 \\
\vdots \\
\xi_n
\end{pmatrix}</math>}}
とおけば，[[制御と振動の数学/第一類/連立微分方程式の解法/連立微分方程式の解法/行列表示と解法#eq:5.10|式 (5.10) ]]と初期条件は，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = A\boldsymbol{x} + \boldsymbol{f}, \quad \boldsymbol{x}(0) = \boldsymbol{\xi}</math>|tag=(5.11)|label=eq:5.11}}
と簡潔に表示できる．ここに，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
\frac{d\boldsymbol{x}}{dt} = \begin{pmatrix}
\frac{dx_1}{dt} \\
\frac{dx_2}{dt} \\
\frac{dx_3}{dt} \\
\vdots \\
\frac{dx_n}{dt} \end{pmatrix}</math>}}
である．
===(2)===
ここで少し記号の約束をしておこう．
関数を成分とする行列，
{{制御と振動の数学/equation|<math>
B(t) := \begin{pmatrix}
b_{11}(t) & b_{12}(t) & b_{13}(t) & \cdots & b_{1n}(t) \\
b_{21}(t) & b_{22}(t) & b_{23}(t) & \cdots & b_{2n}(t) \\
b_{31}(t) & b_{32}(t) & b_{33}(t) & \cdots & b_{3n}(t) \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\
b_{n1}(t) & b_{n2}(t) & b_{n3}(t) & \cdots & b_{nn}(t) \\
\end{pmatrix}</math>}}
に対して，この行列の微分あるいは積分を，その成分の微分あるいは積分を成分とする行列と定義する．すなわち，
| |||